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有限元与数值方法-讲稿20几何非线性有限元分析课件.doc
几何非线性有限元分析
8.1 大变形条件下的应变和应力度量
一.应变度量
结构的初始构型:
P:, Q:
t时刻的构型:
P’:, Q’:
两种构型下的坐标可相互转化:
* 拉各朗日(Lagrange)描述
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数,描述各个量。
* 欧拉(Eular)描述
基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数,描述各个量。
根据以上变换:
,
定义: ,
PQ线段的长度:
P’Q’变形后的长度:
, Green-Lagrange 应变(Green应变)
, Almansi 应变
定义位移向量:
,
Green 应变
Almansi 应变
在小应变情况下:
工程应变 Cauchy应变
二.应力度量
欧拉应力张量(Green应力张量):
表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量
变形后表面上的应力:,
变形前的应力:
需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法:
Lagrange规定:
Kirchhoff规定:
与坐标变换规律相同:
,
:第一类Piola-Kirchhoff应力(Lagrange应力张量),非对称
,
:第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量,对称
各种应力张量之间的关系:
(1)由质量守恒:
(2),
(3),
(4)
注意:是非对称张量,是对称张量。
8.2 几何非线性问题的表达格式
虚位移原理(虚功原理):
虚功原理的初始参考构型表示形式:
为了便于求解:将应力和应变分解成:
从t到时刻引起的应力增量
从t到时刻引起的应变增量
将应变增量进一步分解:
平衡方程的线性化
物理方程的线性化:
对于弹性材料,该关系式准确的。如果是小变形,则有
材料的弹性常数张量。
求解格式的进一步线性化:
带入虚功方程,
可获得用位移和应变表示的虚功方程:
8.3 有限元求解方程及解法
一.有限元方程:
静力问题:
按照一般的有限元法的基本思想,将结构离散成有限单元,每个单元中,选择相应的形函数,将节点坐标、位移等相应的量,通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。
坐标:,,
位移:,
代入虚功原理:
,
,
经过集成后,可获得有限元控制方程:
该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中,刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。
另一方面,右端项与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。
求解方法:可采用求解物理非线性问题的方法求解。
三.有限元方程的解法
基本思想:在每个时间步中,采用非线性方程的求解方法,进行迭代求解。这些方法包括:直接迭代法;N-R方法等。
因此,几何非线性问题的求解包括两层迭代(循环);
外层循环(迭代):对时间步迭代(荷载增量步)
内层循环:求解各时间步导出的非线性方程,通过迭代求解该时间步后的相应。
四.平衡路径的追踪方法:弧长法
8.4 稳定性问题
初始稳定性问题(初始屈曲等)
稳定性控制方程(屈曲方程)
非线性方程:
稳定性问题:在一定的荷载条件下,结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下,是否存在另一状态?
从数学上说,如果位移{u}对应平衡状态,在荷载不变的条件下,位移有一个小的扰动,是否也能够处于平衡状态?
也就是:,是否有非零解?
注意:非线性刚度矩阵是由初始内力形成的刚度矩阵。初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题,则初始内力与外荷载成正比。例如,梁的屈曲问题,则内力与轴向荷载p成正比。此时,。
失稳条件:
求解上述方程,可求出失稳荷载。
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