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椭圆的伴随曲线及其有趣性质.pdf
32 中学数学研究 2008年第 l2期
椭圆的伴随曲线及其有趣性质
云南省广南一中 (663300) 玉邴图
本文介绍椭圆的伴随曲线及其一组有趣性 几个十分有趣的结论.
质,供读者参考. 为了少占篇幅,统一记a。+b =M(M0),a
1 伴随曲线的产生 一 b = ( 0).
轨迹 1 设 PQ是椭圆 /n +y/b =1(a 定理 1 设E,F是椭圆 /0 + /b =1(n
b0)的弦,且PQ与 轴垂直,A ,A是椭圆左右顶 b0)的左右焦点,P是椭圆的相伴双曲线 /n 一
点,则PA和QA交点的轨迹是双曲线 /a一y2/b y。/b =1上动点,椭圆和双曲线的离心率之比为e,
= 1. Z_EPF=0,则有0∈[0,Ir/4]且tanO≤e(当且仅
证明:由题意不妨设P(X。,Y。),Q(。,一Y。),又 当l I=b2/u时取等号).
知A(一ft,0),A (o,0),故得直线PA,QA方程是y 证明:设椭 圆和双 曲线的 I
=Y0(+a)/(0+a)和是Y=一Yo(—a)/(o一 离心率分别为e。,e,如图1,由
一
。)联立两式解得 。=n2/x,Y。=ay/x,因为点 对称性,不妨设点P(,Y)在 \。。
P(x0,Yo)在椭圆 /Ⅱ+y/b =l(Ⅱb0)上, 轴上方,即Y0,而E(一 ,0),
F(13,0),故由线到线的角公式
故将 。,Y。代人椭圆方程整理即得轨迹是双曲线 图 1
/0 一y。/b = 1
. tan
轨迹2 P是椭 圆 /0 +y/b =1(06
0)上一点,A。,A是椭圆的左右顶点,作 上 ,, 一
二
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