椭圆的伴随曲线及其有趣性质.pdf

32 中学数学研究 2008年第 l2期 椭圆的伴随曲线及其有趣性质 云南省广南一中 (663300) 玉邴图 本文介绍椭圆的伴随曲线及其一组有趣性 几个十分有趣的结论． 质，供读者参考． 为了少占篇幅，统一记a。+b =M(M0)，a 1 伴随曲线的产生 一 b = ( 0)． 轨迹 1 设 PQ是椭圆 ／n +y／b =1(a 定理 1 设E，F是椭圆 ／0 + ／b =1(n b0)的弦，且PQ与 轴垂直，A ，A是椭圆左右顶 b0)的左右焦点，P是椭圆的相伴双曲线 ／n 一 点，则PA和QA交点的轨迹是双曲线 ／a一y2／b y。／b =1上动点，椭圆和双曲线的离心率之比为e， = 1． Z_EPF=0，则有0∈[0，Ir／4]且tanO≤e(当且仅 证明：由题意不妨设P(X。，Y。)，Q(。，一Y。)，又 当l I=b2／u时取等号)． 知A(一ft，0)，A (o，0)，故得直线PA，QA方程是y 证明：设椭 圆和双 曲线的 I =Y0(+a)／(0+a)和是Y=一Yo(—a)／(o一 离心率分别为e。，e，如图1，由 一 。)联立两式解得 。=n2／x，Y。=ay／x，因为点 对称性，不妨设点P(，Y)在 ＼。。 P(x0，Yo)在椭圆 ／Ⅱ+y／b =l(Ⅱb0)上， 轴上方，即Y0，而E(一 ，0)， F(13，0)，故由线到线的角公式 故将 。，Y。代人椭圆方程整理即得轨迹是双曲线 图 1 ／0 一y。／b = 1 ． tan 轨迹2 P是椭 圆 ／0 +y／b =1(06 0)上一点，A。，A是椭圆的左右顶点，作 上 ，， 一 二