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求最值问题的若干途径.pdf
维普资讯
2003年第 8期 中学数学研究 35
求最值 问题 的若干途径
湖北省黄 冈市浠水县实验中学 (438200) 江思容 王孝明
最值 问题是初中数学竞赛 的重要题型,它 内容丰 方差等.
富,涉及面广 ,解法灵活多变 ,因而倍受命题者青睐,成 3.1 构造方程
为竞赛的一道亮丽风景.本文介绍最值问题的若干求 例3 若 Ⅱ、b、c为实数 ,且 Ⅱ+b+c=0,abe=
解途径 ,供参考. 2,那么 IⅡI+IbI+IcI的最小值可达到— — .(黄
1.利用非负数性质 冈市数学竞赛题)
若 Ⅱ为实数 ,则 IⅡI≥0,Ⅱ ≥0;若 Ⅱ为非负数 , 解 :因为 abe=20,且 Ⅱ+b+c=0,知 Ⅱ、b、
c中两负一正.由条件式的对称性 ,不妨设 n0,b
则√Ⅱ≥0.
0,c0.由 Ⅱ+b+c=0,可构造方程 似 + +c=
例 1 如果多项式 P=2a一8ab+17b一16a一
46+1999,那么 P的最小值是多少?(黄 冈市数学竞赛 0. =1是该方程的一根 ,于是有 b一4ac≥0,即b≥
, .
题) 4ac.Oo~口c= },.’.b≥ _J,..b≥2..’.I口I+IbI+
解 :P=2(Ⅱ一2b一4)+9(b一2)+1931≥1931.
IcI=一 口+b—c=2b≥4.又 Ⅱ: c=一1,b=2
·
. (Ⅱ一2b一4) ≥0,(b一2)≥0, 满足题设条件且 IⅡI+IbI+IcI:4,故 I口I+
. ·, 当{;: ~御 P有最小值 IbI+IcI的最小值为4.
3.2 构造 图形
1931.
例 4 求 Y=~/ +1+~/(4一 )+4的最小
2.利用判别式
若方程 似 + +c=0(Ⅱ≠0)有实数根 ,则 △ 值 .
= b 一 4ac≥ 0. 分析 :从 函数的形式来看 ,~/ +1可以看成是以
例2 求 ,,= 的最值 .(山东省数学竞 、 1为直角边的三角形 的斜边 ,~/(4一 )+4可以看
成 以4一 、2为直角边的三角形 的斜边 ,此题可归结为
赛题) 求两直角三角形斜边和的最小值 ,于是构造图形解之.
解:将函数式变形 ,并整理得
解 :易知 Y取最小值
(Y—1) +(3,+3) +(4,一4)=0. ① 时
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