用竞赛数学的方法求解高考中数列通项问题.pdfVIP

维普资讯 2008年第 6期 中学数学研究 45 用竞赛数学的方法求解高考 中数列通项问题 浙江省湖州中学 (313000) 李连方 张萍惠 数列通项的求解是国内外数学竞赛和高考命 常高，对于形如 口 = 的递推式求解通 题的 “热点”之一，由于题 目灵活多变，答题难度较 大．而在近几年高考 中关于数列通项的试题 中，我 项，可利用特征方程 = ，若此方程有两 们可以发现其与数学竞赛有着千丝万缕的联系．因 此在高中经历过数学竞赛培训的考生，大都掌握了 不相等的实根 ，则可构造数列等比b ： ，若 一 些高中课本所不曾接触过的知识，在应对这些难 此方程有两相等的实根 = ，则可构造等差数列 度很大的问题就会感到轻车熟路，应对 自如．本文 b =— 一 ，从而解得a 的表达式． 借助一些高考试题，说明数学竞赛知识和方法在高 a 一 1 考数列通项求解中的渗透． 例 1(2006年全国 Ⅱ卷) 设数列 {al的前n 一 、 不动点的运用 项和为 S，且方程 一a ·—a =0有一根为S 在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非 一 1(n∈N )．求数列 {a}的通项公式． · ·· + 一+ ·+· ·—·卜一—·卜一+ 一—·卜”—·卜一—·卜一—·卜一—·卜-—·卜 · + 一+ ·+· 一+ 一—· 一—· 一+ 证：由 一1，n0知，(1+ ) 0．若1+n !±：：：±1≥q [(1+ )詈】p·1 =q(1+ )，所 q个 ≤0，则(7)显然成立．故在下面的证明中总假定 以P(1+ ) +q—P≥q(1+ )， 1+nx 0． (1+ )-q_≥1+ L， UP,C／(1+ ) ≥1+nx． 当n=一1时，(1+ ： ≥鲁 P 命题5 设 一1，n1，则有 ： 1一 ，所以(7)成立． (1+ ) ≥ 1+nx， (5) 当一1n0时，则0一n1，由命题6知 当且仅当 =0时，(5)取等号， (1+ )一 ≤1一nx． 证 ：设任给n1，则存在有理数数列 {r}，使每 因为 1一n2x ≤ 1，1+ngc0，所以1一ngc≤ 个有理数r1，i=1，2，…，m，…，且limr =n，由 r ，从而(1+ ) ≤ ，因此 (1+ ) l + n l + n 命题4知(1+ ) ≥1+／rnX，所 以(1+ ) =lim(1 ≥ 1+n ． + )rm≥ lim(1+trnX)=1+ limrm 当n一1时，则 一1～10，由上面刚证过的 = 1+nx，且口(1+ ) ≥ 1+nx．