知其然究其所以然悟其必然――对苏教版必修3《算法案例》两个问题的注解.pdfVIP

20 十。7擞·?(2010年第6期·高中版) ·教材教法· 知箕然，宄箕所以然，倍箕必然 ——对苏教版必修3《算法案例》两个问题的注解 212300 江苏省丹阳高级中学 史建军 苏教版必修3《算法案例》中有两个案例，一个是辗 1 辗转相除法求最大公约数 转相除法，另一个是“韩信点兵一孙子问题”．学生在学 《算法案例》中的案例2仅简单介绍了欧几里得辗 习这部分内容时，有两点突出的感受：一是惊叹，二是迷 转相除法的具体步骤及算法设计，没有说明其理论依据 惑．两个案例都闪烁着前人卓越智慧的光芒，意义非凡， 和数学本质，即没有阐明上述“为什么”．若教师只是照 影响深远，令人叹服!惊叹之余，学生又疑云重生：为什 本宣科，学生就只会按部就班地机械操作，而不知其中 么用辗转相除法能求两个数的最大公约数?韩信用了 “玄机”；只会将问题“程序化”，不会将问题“数学化”； 什么方法能如此之快地知道士兵有2333人? 仅止步于问题的表面，而没有深入问题的本质．其实，辗 教学中，一些教师试图以“考试不作要求”为由，“委 转相除法的数学思想比较简单，学生很容易接受． 婉”地将学生的疑问消除于“萌芽状态”，但事与愿违，这 1．1 辗转相除法的理论依据 样做反而更增强了他们的好奇心．笔者在进行这部分内 定理设o，6，c是三个不全为0的整数，且有整数 容的教学时，对上述两个案例进行了适当的剖析与注 ￡，使得口=6t+c，则Ⅱ，6与6，c有相同的公约数，故(口，6) 解，既为学生解了惑，更激发了学生学习数学的兴趣． =(6，c)，即(n，6)=(口，口一6￡)． 口。一o。=2或n。=一口¨(n≥2)是不是意味着数列 即n．～8。I=2或口。=一o，l(n≥2)，(参 {o。}只能满足其中一个式子呢? 当o．一n州=2时，数列{吼}成等差数列，且公差d= 1 该问题提出之后，很多学生恍然大悟，很快举出了 2，由sl=÷(口I+1)2及sI=口l，得口l=1． 如下反例： ．。．口。=2n一1(，z∈N+)； (1)8I=l，n2=一l，口3一d2=2，口4一口3=2，…． 当q=-口“时，数列{口。}成等比数列，且公差口=一l， (2)8l=1，n2=3，口3=一口2，口4=一口3，·一． ．‘．d．=(一1)”1(nEN+)． 进而学生们认为，满足条件的数列有无数个．因此 此解答在幻灯片展示过之 这一小题无法求得正确的答案，所以这道题目是一道错 后，笔者并未发现有学生提出 题．而且提出让这道错题变成正确的一种方法是增添条 反对意见，便利用图4进行了 件“口。O”．到此，问题也就迎刃而解． 提示：学生马上发现此图为“不 孔子说：吾每日三省吾身．这其中就饱含着思维批 可能图形”，然后学生又进一步 判性的意味．经常训练学生思维的批判性，能磨练学生 认识到：此图说明有些问题从 对挫折的承受力，树立百折不挠的精神，这是培养学生 表面上看是可行的，但事实上 思维能力必不可少的思维品质．因此，在平时数学教学 是不可能实现的!学生们然后 中，通过从教学素材中精选有代表性的数学问题，通过 图4