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知其然究其所以然悟其必然――对苏教版必修3《算法案例》两个问题的注解.pdf
20 十。7擞·?(2010年第6期·高中版) ·教材教法·
知箕然,宄箕所以然,倍箕必然
——对苏教版必修3《算法案例》两个问题的注解
212300
江苏省丹阳高级中学 史建军
苏教版必修3《算法案例》中有两个案例,一个是辗 1 辗转相除法求最大公约数
转相除法,另一个是“韩信点兵一孙子问题”.学生在学 《算法案例》中的案例2仅简单介绍了欧几里得辗
习这部分内容时,有两点突出的感受:一是惊叹,二是迷 转相除法的具体步骤及算法设计,没有说明其理论依据
惑.两个案例都闪烁着前人卓越智慧的光芒,意义非凡, 和数学本质,即没有阐明上述“为什么”.若教师只是照
影响深远,令人叹服!惊叹之余,学生又疑云重生:为什 本宣科,学生就只会按部就班地机械操作,而不知其中
么用辗转相除法能求两个数的最大公约数?韩信用了 “玄机”;只会将问题“程序化”,不会将问题“数学化”;
什么方法能如此之快地知道士兵有2333人? 仅止步于问题的表面,而没有深入问题的本质.其实,辗
教学中,一些教师试图以“考试不作要求”为由,“委 转相除法的数学思想比较简单,学生很容易接受.
婉”地将学生的疑问消除于“萌芽状态”,但事与愿违,这 1.1 辗转相除法的理论依据
样做反而更增强了他们的好奇心.笔者在进行这部分内 定理设o,6,c是三个不全为0的整数,且有整数
容的教学时,对上述两个案例进行了适当的剖析与注 £,使得口=6t+c,则Ⅱ,6与6,c有相同的公约数,故(口,6)
解,既为学生解了惑,更激发了学生学习数学的兴趣. =(6,c),即(n,6)=(口,口一6£).
口。一o。=2或n。=一口¨(n≥2)是不是意味着数列
即n.~8。I=2或口。=一o,l(n≥2),(参
{o。}只能满足其中一个式子呢?
当o.一n州=2时,数列{吼}成等差数列,且公差d=
1 该问题提出之后,很多学生恍然大悟,很快举出了
2,由sl=÷(口I+1)2及sI=口l,得口l=1.
如下反例:
.。.口。=2n一1(,z∈N+); (1)8I=l,n2=一l,口3一d2=2,口4一口3=2,….
当q=-口“时,数列{口。}成等比数列,且公差口=一l, (2)8l=1,n2=3,口3=一口2,口4=一口3,·一.
.‘.d.=(一1)”1(nEN+). 进而学生们认为,满足条件的数列有无数个.因此
此解答在幻灯片展示过之 这一小题无法求得正确的答案,所以这道题目是一道错
后,笔者并未发现有学生提出 题.而且提出让这道错题变成正确的一种方法是增添条
反对意见,便利用图4进行了 件“口。O”.到此,问题也就迎刃而解.
提示:学生马上发现此图为“不 孔子说:吾每日三省吾身.这其中就饱含着思维批
可能图形”,然后学生又进一步 判性的意味.经常训练学生思维的批判性,能磨练学生
认识到:此图说明有些问题从 对挫折的承受力,树立百折不挠的精神,这是培养学生
表面上看是可行的,但事实上 思维能力必不可少的思维品质.因此,在平时数学教学
是不可能实现的!学生们然后 中,通过从教学素材中精选有代表性的数学问题,通过
图4
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