积微分方程约束的最优控制问题的有限元方法--《山东大学》2012年博士论文.docVIP

积微分方程约束的最优控制问题的有限元方法--《山东大学》2012年博士论文 自从Lions [50]的开创性工作以来,偏微分方程最优控制问题得到了系统的、长足的发展,并成为了数学科学中非常活跃的交叉学科.作为数学尤其是应用数学的一个重要分支,它在许多领域,如(材料设计,晶体增长等过程中用到的)时间控制、反馈控制、火箭飞行状态控制、石油采油水压控制、最优形状设计以及人口动力学等方面都有重要的应用,相关文献众多,例如[12,19,50,57,63,64,67,76]. 在近几十年的发展中,对偏微分方程最优控制问题的研究已经有了相对完善的理论框架,相关的计算软件的开发也得到了发展.工程上以及数学上,最优控制问题大多可用如下的抽象数学模型来表示：s.t.其中,J(u,y(u))为实际问题中的目标泛函,可称为状态变量,u称为控制变量,Uad为控制约束集,A(y,u)=0为由实际问题得来的某一偏微分方程,其中还包括变分不等式,甚至结合状态受限等多种形式,一般地,我们称方程A(y,u)=0为状态方程. 实际最优控制问题中所涉及到的状态方程既有线性的和常定的,又有非线性的和时变的.特别复杂和重要的是,随着科学和工程的发展,实际中会碰到状态方程为具有更重要应用和实际需要的线性或者非线性耦合方程组的最优控制问题,相关文献见[2,21,35,36].而最优控制问题的变量受限有控制受限和状态受限两种,之前已经有很多文章曾经处理过这两种变量受限问题.例如关于控制受限的最优控制问题,相关文献见[17,31,42,47,57,61.68,83]等,而关于状态受限的最优控制问题见文献[11,14,15,16,25,52,62,65,80.85]等. 在很多实际问题比如带有记忆性质的热传导问题、人口动力学问题、粘弹性力学、材料设计等领域中,我们常常会遇到以抛物型积分微分方程、伪抛物型积分微分方程和双曲型积分微分方程等几类重要的积分微分方程为状态方程的最优控制问题.关于抛物型积分微分方程、伪抛物型积分微分方程和双曲型积分微分方程这几类重要的积分微分方程,许多学者已经做了系统而全面的研究,这方面的工作,我们无法以这样的篇幅来一一陈述；不过,这里我们仍然要提到的是,许多经典理论和传统算法,可以参阅相关文献见[29,37,66],而带有非光滑核的方程见文献[33,58,59]等专著中的相关论述与结论.但是对以这一类方程为状态方程的最优控制问题的系统研究(理论分析或者是数值计算)在文献中并不多见.特别是当建立了合适的数学控制模型之后,由于这些状态方程(积分微分方程)的复杂性,通常情况下难以求解其精确解,因此发展高效的数值计算方法成为最优控制实际应用的首要问题和挑战.随着计算机的发展和计算能力的提高,各类数值方法比如差分法、谱方法、有限体积法等都在最优控制问题数值计算中得到了一些应用,但是众所周知,在大的科学与工程计算过程中有限元方法因其自身的优越性,在众多数值方法中占有了不可替代的位置. 有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有很广泛和深入的研究,无论是在数值计算还是收敛性和误差分析方面的结果都不胜枚举,可见文献[3,4,5,32,34,57]等.例如,最优控制问题中状态方程为线性和非线性椭圆方程时,先验估计在[27]和[76]中就已给出；最优控制问题中状态方程为非线性方程时,先验估计在[28]中给出.虽然当前科技论文文献中关于最优控制的有限元逼近快速求解的文章不胜枚举,但是即使对控制受限的最优控制问题的计算仍然需要深入的研究.原因是最优控制问题的求解仍存在很多计算上的瓶颈问题,其中种种困难错综复杂,相互制约,从而增加了问题的难度.这其中至少有两个关键的问题,首先是最优控制问题如何离散,其次是离散的最优控制问题(有时是KKT系统)如何求解,其求解过程通常需要反复求解状态方程和对偶状态方程. 关于抛物型和双曲型方程最优控制问题的研究,前人已经做了大量的工作.如在文献[18]中给出了半线性二次抛物型最优控制问题的全离散混合有限元误差估计；在文献[56,74]中通过构造后验误差估计子,给出了抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计；在文献[60]中给出了抛物型方程最优控制问题的时空有限元离散的后验误差估计.而双曲型方程最优控制问题的研究在文献[50]中也有介绍.虽然积分微分方程的数值解问题许多学者已经做了系统而全面的研究,这方面的工作可以参阅文献[23,29,33,37,58,59,66,81,82]等,另外带有光滑核的抛物型、伪抛物型和双曲型积分微分方程的有限元方法在[8,13,20,26,45,49,71,75,84]等专著中也有相关论述与结论.但是此类积分微分方程的最优控制和数值方法尚未见有相关文献.由于此类积分微分方程相比抛物型方程或者是双曲型方程多了积