立体几何轨迹问题综述.pdfVIP

2009年第5期 中学数学研究 33 立体几何轨迹 问题综述 浙江省湖州市第一中学 (313000) 黄加卫 立体几何中的轨迹 问题是以空间直线与平面 评注：在平面几何中，象直线、圆、圆锥 曲线都 的位置关系为依托，研究平面解析几何中一类点的 有 自身的定义．在研究空间动点的轨迹时要充分利 轨迹．这类题型在历年高考卷中 “闪亮登场”，成为 用这些定义，即解立体几何中的轨迹 问题时，把得 高考命题的一个创新点．并且这类题型往往是客观 到的结论和前面所述的几种 图形的定义进行联系， 题，其立意新颖、构思巧妙，注重多元联系和多元应 这样往往能顺利找到解题途径，进而得出答案，一 用，集知识的交汇性、综合性，方法的灵活性，能力 些选择题、填空题尤其如此． 的迁移性于一体，极富思考性和挑战性，因此学生 2 通过数形转译，利用坐标破解问题 求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋 例 3(2008年北京 惜 !本文通过实例来说明立体几何中轨迹问题求解 如 图 3，动点 P在正 的常用方法． ABCD—AlBlC】D1的对 1 通过条件转化，利用常见平面图形的定义 BD，上．过点P作垂直于 破解问题 BBDD的直线 ，与正方 例 1(2004年天津高考 面相交于 ，Ⅳ．设 BP 题) 如图1，定点A和B都 MN=Y，则函数Y= 。 在平面O／内，定点P隹O／，PB 图象大致是 ( )． j_Ol，C是 Ol内异于 和B的 动点且 PC上AC．那么动点C 图1 在 平 面 Ol内 的 轨 迹 是 A B ( )． 分析 ：由题意可 A．一条线段，但要去掉两个点； ∥AC，如图4，过P，N B．一个圆，但要去掉两个点； C．一个椭圆，但要去掉两个点； PELBD于 E，NF一 D．半圆，但要去掉两个点． 点 F，连接 EF，易知 EFNP为平行四边形 分析：．‘P‘C上AC且PC在Ot的射影为BC，．·．BC 上AC，即_．．．／ACB=90。-．．．点C的轨迹为以AB为 = 尸Ⅳ = 且 F上 图4 直径的圆且去掉 、两点，故正确的答案应选B． 于是 ABEF是等腰直角三角 例 2(2004年高考北京 彤 ．／f-,~ 议 止 万 体 的棱 长 为 1，由于 ABPE 卷) 如 图 2，在 正方体 -6 则EF=BE=—,／-6 ABD1D，可得BE=4 ABCD—A1BlC1D1中，P