线性规划问题的新视角.pdfVIP

2009年第6期 中学数学研究 21 线性规划 问题的新视角 陕西师范大学数学与信息科学学院 (710062) 程 自顺 众所周知，线性规划问题可以通过画出线性约 束条件(即不等式组)所表示的可行域 (即不等式 组所表示的平面区域)，然后作出线性 目标函数所 理得 表示的直线簇，借助图像的平移等几何知识加以解 叫 褊 决，其方法堪称为运用 “数形结合”思想求解数学问 题的典范之一．一个 弓1人注意的问题是，线性规划 问题以不等式(组)的形式给出，以求表达式的取值 范围为目标，所涉及的均是不等式的内容，而其解 2 +Y ≤ 40 法却主要用到解析几何的相关知识．尽管上述解法 r 已编人数学教材并被广大师生所接受，数形结合虽 J1+2y≤50，则：：3+2y的最大值是( )． ≥ 0 。 然也很巧妙，但难免显得不够 自然甚至是 “牵强”! ，●y●—●●●，●●2●N●●J≤y一l、5●●●●●●●+●●多Ly一I3 Y ≥ 0 那么，从不等式的角度可以解决吗?经过笔者的探 踟≤ 三≥2 0≥ 三≤3 索，回答是肯定的．本文即从一个2 全新的视角一 运 解 ：由z=3x+2 得Y= ，代入约束条件 2 一 一 一 用不等式法求解线性规划问题来审视08年全国各 2 80 一z≥ 0 地部分高考数学试卷当中的线性规划题 目，与读者 5 分享、交流1 狄 80一≥吾一25 1 普通的线性规划问题 整理得 而 例1(2008年全国卷1第13题) 若 ，Y满足约 手≥0 ’ fx+Y≥0 束条件{—Y+3≥0，则 =2x—Y的最大值是 手≥詈一25 I tO≤ ≤ 3 解得0≤z≤70，．．‘… =70． ( )． 这种仅依赖不等式的性质并利用解不等式的 解：由 ：2x—Y得y=2x— ，代入约束条件整 解法我们不妨称为线性规划问题的不等式解法，其 主要思想是代人消元，利用在线性约束条件下 或Y 理理得得{ 从而f} ，解得一3≤。≤ 必然有意义，根据不等式的性质将其消去，从而得 1≤+3，从而{3 ，解得一≤z≤ L L0+3 ≥ 0 ． ． 到z的不等式组，进而求得 的取值范围．值得注意 0 ≤ ≤ 3 的是，为保证能求得 z的取值范围及准确性，必须充 9，．’． = 9．