统计技术和抽样技术.doc

第二章 统计技术和抽样技术 第一节 统计技术基本概念 一、随机变量的基本概念 1、事件和随机事件 观测或试验的一种结果，称为一个事件。例如：明天的天气是晴天、阴天还是雨天，这三种可能性中的每一种都称为事件。又如：测量工件的直径所得的结果为9.91mm，9.92mm，9.93mm…，这里每个可能出现的测量结果都称为事件。与测量结果相联系的不确定度是事件；若工作直径的真值已知，则相应的每一个误差也称为事件。 在客观世界中，我们可以把事件大致分为确定性和不确定性两类。向上抛一石子必然下落，纯水在标准大气压下加热到100℃时必然沸腾等，均属肯定事件或确定性事件。抛掷一枚硬币的结果可能正面朝上、也可能反面朝上，打靶的结果可能射中，也可能射不中等，均属可疑事件或不确定性事件。 确定性事件有着内在的规律，这一点我们比较容易看到和处理。而对于不确定性事件，虽然就每次观测或试验结果来看是可疑的，但在大量重复观测或试验下却呈现某种规律性（统计规律性）。例如：多次重复抛掷一枚硬币，会发现正面朝上与反面朝上的次数大致相等。概率论和数理统计就是从两个不同侧面，来研究这类不确定性事件的统计规律性。在概率统计中，把客观世界可能的事件区分为最典型的三种情况： ①必然事件。在一定条件下必然出现的事件，例如工件直径的测量结果为正，是必然事件。 ②不可能事件。在一定条件下不可能出现的事件，例如工件直径的测量结果为零或负值，都是不可能事件。 ③随机事件。在一定条件下可能出现也可能不出现的事件，例如工件直径的测量结果出现在9.91mm与9.92mm之间，是一个随机事件。随机事件即是随机现象的某种结果。 2、随机变量 如果某一量（例如测量结果）在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量称作随机变量。 随机变量不同于其他变量，其特点是以一定的概率在一定的区间上取值或取某一个固定值。例如：工件直径的测量结果在（9.90～9.92mm）区间上取值的概率为0.9。由前所述可知，测量结果及其不确定度均为随机变量。 随机变量根据其取值的特征可以分为两种： ①连续型随机变量。若随机变量X可在坐标轴上某一区间内取任一数值，即取值布满区间或整个实数轴，则称X为连续型随机变量。例如：重复测量工件直径中所得的一组观测值属于连续型随机变量。 ②离散型随机变量。若随机变量X的取值可离散地排列为x1，x2…，而且X以各种确定的概率取这些不同的值，即只取有限个或可数个实数值，则称X为离散型随机变量。例如：在取有效数字的位数时，数字的舍入误差属于离散型随机变量。 3、事件的概率 随机事件的特点是：在一次观测或试验中，它可能出现、也可能不出现，但是在大量重复的观测或试验中呈现统计规律性。例如：在连续n次独立试验中，事件A发生了m次，m称为事件的频数，m/n则称为事件的相对频数或频率，当n极大时，频率m/n稳定地趋于某一个常数p，此常数p称为事件A的概率，记为P（A）=p。这就是概率的古典定义。概率p是用以度量随机事件A出现的可能性大小的数值。必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率P（A）为0≤P（A）≤1。所以，必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况或特例。概率可以通过一定的法则进行运算。 4、分布函数 随机变量的特点是以一定的概率取值，但并不是所有的观测或试验都能以一定的概率取某一个固定值。例如：重复测量某圆柱体直径时，作为被测量最佳估计值的测量结果是随机变量，记为X，它所取的可能值是充满某一个区间的（并非某一个固定值），此时人们所关心的问题是：它落在该区间的概率是多少？即P[a≤X≤b]=? 根据概率加法定理有 P[a≤X≤b]=P[X＜b]－P[X＜a] 显然，只要求出P[X＜b]及P[X＜a]即可，这要比求P[a≤X≤b]简便得多，因为它们只依赖于一个参数。 对于任何实数x，事件[X＜x]的概率当然是一个x的函数。令F（x）=P[X＜x]，显然有F（－∞）=0，F（+∞）=+1，这里F（x）即为随机变量X的分布函数。所以，分布函数F（x）完全决定了事件[a≤X≤b]的概念，或者说分布函数F（x）完整地描述了随机变量X的统计特性。 二、随机变量的数字特征 利用分布函数可以完全确定一个随机变量，但在实际问题中求分布函数不仅十分困难，而且常常没有必要。例如：测量零件的长度得到了一系列的观测值，人们往往只需要知道零件长度这个随机变量的一些特征量就够了，诸如长度的平均值（近似地代表长度的真值）及测量标准（偏）差（观测值对平均值的分散程度）。用一些数字来描述随机变量的主要特征，显然十分方便、直观、实用，在概率论和数理统计中就称它们为随机变量的数字特征。这些特征量有数字期望、方差、矩等。 1、数学期望 随机变量X的数学期望值记为E（X）或简记为μx，用它可