βH上Jordan同构的一个代数不变量幂等元的集合.pdfVIP

1424 中国科学A辑数学2005，35(12)：1424—1437 不变量：幂等元的集合木 崔建莲++ (清华大学数学科学系，北京100084) 侯晋J 0℃原理工大学数学系，太原030024；山西师范大学教学系，临汾041004) 摘要 反自同构． 关键词lIilbert空间算子Jordan同构幂等元 1引言 20世纪40年代中期，华罗庚11“4】创建了矩阵几何学的研究．矩阵几何的基 本问题是用尽可能少的几何不变量来刻画矩阵空间之间的“运动”，华罗庚证明 S)=1)．受矩阵几何思想的启发，对于无限维(即算子空间)的情形可提出类似 的问题：用尽可能少的几何或代数不变量来刻画算子代数或算子空间之间的映 2003-10．14收穑，2005．10．20收修改稿 金资助项目 ++E—mail：jcui@mathtsinghua．edu．cn IN SCⅢNCECHINASet．AMathematics 第12期 崔建莲等z 1425 B(H)上Jordan同构的—个代数不变量：幂等元的集合 射．在文献f5—7】中，作者们分别证明了数值半径就是这样一个几何不变量． 如果假设所讨论的映射是线性的，则上述问题就是所谓的线性保持问题．线性保 为矩阵理论和算子理论的一个非常活跃的研究领域(见综述性文章文献【9】)．有 关线性保持问题的许多结论，揭示了算子代数的线性结构和代数结构之间的关 系(见文献【10】)．近年来，人们对非线性保持问题的研究也越来越加以关注． 把幂等元的集合看作一个代数不变量，Selnrl在文献【1l】中证明了：对于n 这样，自然提出如下问题：是否上述结论对无限维空间情形也成立?本文的目 的就是肯定地回答这个问题．事实上，我们获得了更强的结果． A，B∈8(日)和A∈{一1，1，2，3，1／2，1／3}，如果壬满足 A—AB∈Z(H)甘垂(A)一A垂(B)∈工(日)， 反自同构，共轭内自同构，共轭内反自同构．进而，如果壬也满足条件 A—iB∈Z(H)甘西(A)一i4,(B)∈z(日)， 同构．因为上述结论的逆显然成立，故以这种方式，幂等算子的集合是B(H)上 的Jordan(环)自同构的代数完全不变量． 示复数、实数和整数集合． 2结果和证明 下面的定理是本文的主要结果： 任意的A∈{一1，1，2，3，1／2，1／3}及A，B∈B(日)，西满足 A—AB∈Z(H){争圣(A)一^西(B)∈z(s)(1) 的充分必要条件是存在日上的连续可逆线性或共轭线性算子T，使得西(A)= 中国科学A辑数学 第35卷 证 且满足对任意的A∈{一1，1，2，3，1／2，1／3}及A，B∈舀(日)，有 A—AB∈Z(H)甘圣(A)一A圣(B)∈工(日)． 先证明几个断言： 断言1壬是单射． 断言2对任意的^∈仕283‘I 由(1)式，有 D=壬(AA)一h0(A)∈z饵)； 类似地， A一_1(hA)∈2-(H) 蕴涵 一÷D：母(A)一；西(AA)6Z(H)， 所以 一；D=嘉D2=击D， 故D=0，即对每个A∈B(H)及^∈{2，3，1／2，1／3}，有 垂(AA)=he2(A)． 现在对自然数n和m使用归纳法，得到 圣(24-mA)=2士m壬(A)，壬(3士“A)=3士“西(A)． 所以对每个A∈口(日)，有