ляпунов函数构造方法的若干问题.pdfVIP

维普资讯 枣庄师专学报 (自然科学版) 1991年第 8卷第 2期 (总第 ll期) JournalofZaozhuang NormalCollege Vo1． 8 No． 2 1991 (NaturalScienceEdition) (Sum No． 11) f[nrlyHol~函数构造方法的若干问题 石 平 绥 、 1{ 提 要 奉文运婀数学方祛论的虹魁方法对缝性系统和非线性幕境舶nr 。n(车雅普诺夫)菌数的拇造方珐进行研 讨 ． 关键调 ,qmly~R函数、墁性系统、非线性系统。 一 、 引 言 运动稳定性理论是苏联的著名学者 A．M．JlnnyHoB在十九世纪末开创的，在 自然科学和 工程技术中获得广泛的应用，显示了强大的生命力 ，引起世界各国的极大兴趣 。它的一个核 心问题，就是 2]nnyaoB函数的构造 问题 ，fJ~HyHoB函数构造方法是我们进行常微分方程稳定性 研究的一个重要课题 。众所周蜘 ，常系数线性 系统的J]RnyHOB函数 (一般指二次型)构造原理 早就为A．M．Jlnny-no~本人所解决。但对 n阶常系数线性系统 =ax，++a + ……+ax (i= l，2，一 ，n) 当它的特征方程 ·一州一。c其中={：》 的所有根都具有负实部时，即RcL．0(i一1，2，… ，n)，通过系数籼，把我们所要求的JlanynoB 函数用明显解和简洁的形式写出来 ，这一工作直到一九六八年苏联的E．A．Bapda~tum (巴尔 巴辛)关于 i1阶常系数线性方程组的n o 函数公式给出后，同题才得到解决 。 对于一般非线性系统 ，如何构造 JInnyHoB函数的一般方法，到 目前为止还是没有的。尽管 如此，但针对具体问题，构造恰当的 ．rlnnyHoB函数，就这一点而言，已取得了极其丰硕的成果。 一 九六四年我国的李森林教授就分离变量情况下的非线性系统的全局稳定性 ，当n一2时用四 段直线拼成的封闭曲线族，构造了一个很有意义的J1丑rI徊o函数。就二阶可分离变量情况下的 非线性系统全局稳定性之3l~nynoB函数 ，由于有平面定性理论的工具可以利用 ，有物理和力学 的规律可遵循 ，所 以研究成果较丰富，基本上处于完善的阶段。至于三阶情况，E．A．~ illlllt 收穑 日期 -1991—0l～1● 维普资讯 2 石平绥 Ⅱy}m 函数构造方法 的若干问题 针对一类特殊的三阶非线性方程，利用它的关于常系数情况 ，所推得的 ／Ianymm函数公式 ，构 遣了一些简洁而又明显的 J]．sn~os函数 ，这些李雅普诺夫函数在七十年代后半期 出版的有关 稳定性理论专著中都有引用。为了探索非线性系统m ny—e函数构造的一般方法 ，系统地总结 珊有的 ．r]~nyHoB函数的各种构造方法，从中找出李雅普诺夫函数的构造规律，无疑是十分必要 的 ． 二、基 本 理 论 (一)关于驻定运动的李雅普诺夫稳定性理论 定理 l 设扰动运动的微分方程组 … ~ -=Xj(xI，x2，… …x) (j一 1，2，… … ，n) (2．1) 存在定号函数 V(x-，xz，…，x)，它对于时间t的关于(2．1)的全导数