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专题达标检测五 一、选择题 1．若a、b表示互不重合的直线，α、β表示不重合的平面，则a∥α的一个充分条件是(　　) A．α∥β，a∥β B．α⊥β，a⊥β C．a∥b，b∥α D．α∩β＝b，aα，a∥b 解析：A，B，C选项中，直线a都有可能在平面α内，不能满足充分性，故选D.答案：D 2．(2010·全国Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：∵BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角即为BB1与平面ACD1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D到面ACD1的距离为，所以sin θ＝，得cos θ＝，故选D. 答案：D 3．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　) A．PA＝PBPC B．PA＝PBPC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 解析：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，∴PA＝PB＝PC.应选C. 答案：C 4．如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为(　　) A．1＋且a＋bh B．1＋且a＋bh C．1＋且a＋bh D．1＋且a＋bh 解析：设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶， 瓶内酒的体积为V酒， 则V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb， 即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)， ∴＝＝1＋. 又∵Sa′Sa，即a′a， ∴h＝a′＋ba＋b， ∴＝1＋且a＋bh. 答案：B 5．在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正棱锥S－ABC外接球的表面积是(　　) A．12π B．32π C．36π D．48π 解析：由于MN⊥AM，MN∥BS，则BS⊥AM， 又根据正三棱锥的性质知BS⊥AC，则BS⊥平面SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，SA、SB、SC为三棱锥S—ABC外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为R，则4R2＝3SA2＝36，球表面积为4πR2＝36π. 答案：C 6．(2010·北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积(　　) A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 解析：连结EQ、FQ、A1D，作PN⊥A1D，垂足为N. ∵A1B1∥DC且EF＝1，∴S△EFQ是定值． ∵A1B1⊥面ADD1A1且PN面ADD1A1， ∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面A1B1CD. ∵PD＝z，∠A1DA＝45°， ∴PN＝z，∴VPEFQ＝S△EFQ·PN与x，y无关，与z有关，故选D. 答案：D二、填空题 7．(2010·湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝____________cm. 解析：直观图如图，则三棱锥中AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC， ∴体积V＝×AB·AC·h＝20， ∴h＝4. 答案：4 8．如图所示，在正方体，ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的取值集合为________． 答案： 9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是，故该凸多面体的体积为1＋. 答案：1＋ 10．(2010·四川)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________． 解析：过A作AC⊥平面β于C，C为垂足，连结CB，过C作CD⊥l于D，连结AD，则AD⊥l， ∴∠ADC为二面角α－l－β的平面角，即∠ADC＝60°. ∵AC⊥β，∴∠ABC为直线AB与平面β所成角．设AB＝1，则AD＝，AC＝×＝， ∴sin ∠ABC＝＝＝. 答案： 三、解答题 11．(2010·江苏无锡)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证： (1)平面ABC⊥平面ABC1； (2)