一类离散时间代数Riccati矩阵方程异类约束解的双迭代算法.pdfVIP

第3l卷 第6期 工 程 数 学 学 报 Vo1．31No．6 2014~12fiJ CHINESE JOURNALOF ENGINEERING MATHEMATICS Dec．2014 doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．06．006 文章编号：1005—3085(2014)06—0847-10 一 类离散时间代数Riccati矩阵方程 异类约束解的双迭代算法术 牛婷婷， 张凯院， 宁倩芝 (西北工业大学应用数学系，西安 710072) 摘 要：本文研究在最优控制系统中遇到的离散时间代数Riccati矩阵方程 (DTARME)异类约 束解的数值计算问题．首先对多变量DTARME中的逆矩阵采用矩阵级数方法进行等 价转化，然后采用牛顿算法求多变量DTARME的异类约束解，并采用修正共轭梯度 法求由牛顿算法每一步迭代计算导出的线性矩阵方程的异类约束解或者异类约束最小 二乘解，建立求多变量DTARME的异类约束解的双迭代算法．双迭代算法仅要求多 变量DTARME有异类约束解 ，不要求它的异类约束解唯一，也不对它的系数矩阵做 附加限定．数值算例表明，双迭代算法是有效的． 关键词：多变量DTARME；异类约束解；牛顿算法；修正共轭梯度法：双迭代算法 分类号：AMS(2000)49M15；65F10 中图分类号：O241．7 文献标识码：A 1 引言 本文用A B表示矩阵 与B的Kronecker积，W (A)表示将矩阵 按行拉直构 成的列向量．定义同阶实矩阵 与B的内积为 ，B1= tr(ATB)，由此导出矩阵 的Frobenius范数IIA』I=、／，A】．记实对称矩阵的集合为 1．设实矩阵P1与P2为对称 正交矩阵，若实矩阵 满足X ： XP1，则称 为关于P1的白反矩阵，记关于R 的 自反矩阵的集合为Q ；若实矩阵 满足XT=X =P2XP2，则称 为关于P2的对 称 自反矩 阵，记关于 的对称 自反矩阵的集合为Q9．当X1∈Q1，X2∈Q5，Xa∈ Q9时，记为 (1， ，X3)∈ 1—5—9，并称(x1， ，3)为约束l一5—9矩阵，不同的对 称正交矩阵 与P2可导致不同的约束 1—5—9矩阵．考虑离散时间代数Riccati矩阵方 程 (DTARME) AT 一 一(AT B+ )(R+BT2B)一(BT A+LT)+G=O， (1) 其中A，G ∈R ，R∈Rm ，B，L∈R ，且rank(B)=m， 和G— 一 T为 对称正定矩阵．方程 (1)在控制理论中扮演着重要的角色，如在Nash均衡对策、线性二 收稿 日期：2013-04-01．作者简介：牛婷婷 (1989年1月生)，女，硕士．研究方向：计算数学 基金项目：国家自然科学基金． 848 工 程 数 学 学 报 第3l卷 次型最优控制、最优预见控制器设计等方面都有着重要的理论意义和应用价值 【卜到．因 此，研究方程 (1)的特殊解的数值计算方法是有意义的．近年来，人们对方程 (1)的数值 计算方法进行了多方面的研究工作 5【-71．比如，Richard等6[]对方程 (1)解矩阵的上界与下 界进行了估计；姜长生f】根据哈密顿一凯莱定理，利用逆对偶矩阵特征多项式的因式对方 ～X L 程 (1)进行求解． = ll ／ ， ● ＼ ／ ＼ 然而，在许多工程应用中经常需要求未知矩阵阶数较高的DTARME的特殊解f4，5】， 特别是对称解．当未知矩阵 的阶数较高时，DT