离散对偶代数Riccati方程异类约束解的双迭代算法.pdfVIP

暧 数学物理学报 2014，34A(6) http：／／actamsw．ipm．ac．cn 离散对偶代数 Riccati方程异类约束解的双迭代算法 宋卫红 张凯院 聂玉峰 (西北工业大学应用数学系 西安710072) 摘要：利用逆矩阵的Neumann级数形式，将在离散时间跳跃线性二次控制问题中遇到的含未 知矩阵之逆的离散对偶代数 Riccati方程 (DCARE)转化为高次多项式矩阵方程组，然后采用 牛顿算法求高次多项式矩阵方程组的异类约束解，并采用修正共轭梯度法求由牛顿算法每一 步迭代计算导出的线性矩阵方程组的异类约束解或者异类约束最小二乘解，建立求 DCARE 的异类约束解的双迭代算法．双迭代算法仅要求 DCARE有异类约束解，不要求它的异类约 束解唯一，也不对它的系数矩阵做附加限定．数值算例表明，双迭代算法是有效的． 关键词：离散对偶代数 Riccati方程；异类约束解；牛顿算法；修正共轭梯度法；双迭代算法． MR(2000)主题分类：49M15；65F10 中图分类号：0241．7 文献标识码：A 文章编号2014)06—1440—10 1 引言 文中用 R 表示 m ×n阶实矩阵集合， ’和 tr(A)分别表示矩阵 的转置和迹， p(A)表示矩阵 的谱半径，A B 表示矩阵 与 B的Kronecker积，v-~(A)表示将 矩阵 A按行拉直构成的列向量．定义同阶实矩阵 A与 B的内积为 f，B]=tr(AB)，由 此导出矩阵的Frobenius范数 IIAII=、／ ，A]．设 为对称正交矩阵，若X ∈R 满足 X 一 = ，则称 为关于矩阵 的对称 自反矩阵．特别的，当 =I时， 为对 称矩阵；当 ： (次单位矩阵)时， 为双对称矩阵．记全体对称矩阵的集合为52，全 体双对称矩阵的集合为 (27，全体关于矩阵 的对称 自反矩阵的集合为 2【9()．当 l∈Ql， 2∈Q9(P2)，Xa∈Q9(尸3)时，记作 (X1，2，3)∈Q1—9—9，称之为约束 1-9—9矩阵．特别 的，当P2= =I时，(X1，2，x3)为约束 1—1—1矩阵；当P2=I， = 时，(1，2，3) 为约束 1—1—7矩阵．在离散时间跳跃线性二次控制问题中，经常会遇到下面的离散对偶代数 Riccati方程 fDCARE)[1一】 = AyetA一 GB(+BGB)一BlTGA+Q。(=1，2，3)， (1) 其中 。，Q ， ∈R ，B。∈R” ，Q ：Q，且 3 e= ／， ∈0[，1]，～eii0，∑ ，一1 』=1 收稿 日期：2013—04—25；修订 日期：2014—03—20 E—mail：songweihong1989@ 163．com 基金项 目：国家 自然科学基金 资助 No．6 宋卫红等：离散对偶代数 Riccati方程异类约束解的双迭代算法 1441 DCARE(1)在控制理论中涉及到的最优控制 l【_3]、鲁棒控制 [、过滤器设计 、时滞系统 控制器设计 []以及奇异摄动随机系统的线性二次优化 问题 5【]中扮演着非常重要的角色．在 这些实际问题中，通常需要求 DCARE(1)的对称解 (即约束 1一l一1解)，当涉及矩阵的阶数较 高时，计算DCARE(1)的对称解或者其它约束解是非常困难的． 近年来，很多学者研究代数 Riccati方程 (ARE)唯一 (