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同济大学_线性代数_习题解答_第四章.pdf
第四章 向量组的线性相关性
1．设v1 (1, 1, 0)T , v2 (0, 1, 1)T , v3 (3, 4, 0)T ,
求v1 v2 及3v1 2v2 v3 .
解 v1 v2 (1, 1, 0)T (0, 1, 1)T
(1 0, 1 1, 0 1)T (1, 0, 1)T
3v 2v v 3(1, 1, 0)T 2(0, 1, 1)T (3, 4, 0)T
1 2 3
(3 1 2 0 3, 3 1 2 1 4, 3 0 2 1 0)T
(0, 1, 2)T
2．设3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 其中a1 (2,5,1,3)T ,
T T
a2 (10,1,5,10) , a3 (4,1,1,1) ,求a
解 由3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 整理得
1 1 T T T
a (3a 2a 5a ) [3(2,5,1,3) 2(10,1,5,10) 5(4,1,1,1) ]
1 2 3
6 6
(1,2,3,4)T
3 ．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示.
a , a , , a a a , a ,
1 2 m 1 2 m
(2)若有不全为0 的数 , , , 使
1 2 m
a a b b 0
1 1 m m 1 1 m m
成立,则a , , a 线性相关, b , , b 亦线性相关.
1 m 1 m
(3)若只有当 , , , 全为0 时,等式
1 2 m
a a b b 0
1 1 m m 1 1 m m
才能成立,则a , , a 线性无关, b , , b 亦线性无关.
1 m 1 m
(4)若a , , a 线性相关, b , , b 亦线性相关,则有不全为0 的数,
1 m 1 m
, , , 使 a a 0, b b 0
1 2 m 1 1 m m 1 1 m m
同时成立.
解 (1) 设a1 e1 (1,0,0, ,0)
a a a 0
2 3 m
a , a , , a a a , , a ,
满足 线性相关,但 不能由
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