论线性代数在现实生活中的应用(结课论文).doc

论线性代数在实际生活的应用 【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。人文社会科学专业注重的应该是学生抽象思维的培养，一味地强调全面发展有时反而会起到负面作用。文科生学，有什么用处呢？就算有用，也往往是在用之前，就被遗忘和荒废了。就自己的经历来讲，她认为文科生开设高数课毫无益处，尤其是中文系，开设纯理论的数学实在是很荒谬。她认为，说要培养数字概念和数学思维，高中学的知识已经足够了线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 　　“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数解决这些问题的有力工具。所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，是非常有用的 则它们的组合所具有的营养为 使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程： 用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下： A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b 程序执行的结果为： 即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。 2.在城市人们出行的应用——交通流的分析 某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。 解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程： 节点A: x1+450＝x2+610 节点B: x2+520＝x3+480 节点C: x3+390＝x4+600 节点D: x4+640＝x2+310 将这组方程进行整理，写成矩阵形式： 其系数增广矩阵为： 用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式为 注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为： x1=x4+330, x2=x4+170, x3=x4+210 0＝0 由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取负值。 所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在x1,x2,x3,和x4中，再检测一个变量。 3.在人口迁移的应用人口迁徙模型 设在一个大城市中的总