F关系与聚类分析.doc

第三章　F关系与聚类分析 关系 直积（笛卡尔积） 2．关系 现实世界中存在各种各样的关系 “父子关系”，“师生关系”，“数的大于等于关系”… 特点：涉及两个集合， ，x与y或者有关系，或者没关系，这就是普通关系。 定义1 给定论域X，规定一个X到Y的关系R（记作），对任意，x与y有关系，记作，x与y无关系记作，二者必居其一，且仅居其一。 定义1 （等价定义）若，则称R为X到Y的关系。 例1 “大于等于“关系，记作“” ， 3．常用性质（X上的关系） （1）自反 （2）对称R （3）传递R 4．分类（聚类）问题 （1） （2） 二、F关系的定义和性质 1．定义1 称的一个模糊子集确定了一个到的模糊关系（记作），隶属度表示与有关系的程度。 “朋友”关系，“信任”关系，“相像”关系… 例1　实数域上的“远远大于”关系，记作“”，隶书函数定义为： 设某地区身高论域 ，体重论域，下表给出了一个表示身高与体重之间相互关系，它是一个模糊关系。 140 150 160 170 180 40 0.9 0.7 0.6 0.3 0.1 50 0.7 0.9 0.8 0.5 0.2 60 0.6 0.6 1 0.8 0.4 70 0.3 0.3 0.8 1 0.7 80 0.1 0.2 0.4 0.7 1 2．关系与运算 由于F关系也是F集，所以F集之间的关系、运算以及性质对它一样成立。如： 其中，称为截关系。 并称为在水平上有关系，否则称为无关系。 3．F矩阵 ， （1）定义1　设以为第i行，第j列元素构成的矩阵称为F矩阵，记作 。 F矩阵也是普通矩阵，它表示从X到Y的一个F关系，元素代表有关系的程度。 （2）性质 ①92页7条（与13页对比）； ②93页性质1-性质5。 例1　设 则 　　 　　 三、F关系的对称性与自反性 1．对称 （1）定义 定义1　定义，则称为 的转置关系。 当论域有限时，上面定义为 为的转置矩阵。 定义2　若，则称为对称矩阵（模糊关系）。 例1　设 是对称矩阵。 举对称模糊关系和非对称模糊关系“朋友”？“相像”？“信任”？ （2）转置关系性质 ①； ②； ③； ④，则是对称的； ⑤，S对称，，则 由性质④，⑤得，包含的对称矩阵一定包含，故是包含的最小对称矩阵。 （3）对称闭包 定义3 包含具有对称性的最小模糊关系称为的对称闭包，记作。 ①，且是对称的 ② （4）对称闭包求法 性质④和⑤说明是的对称闭包。即 1．自反关系 定义4 若 则称为上的自反（模糊）关系。 论域有限时称为自反（模糊）矩阵。 是自反矩阵 其中 为单位矩阵。 自反闭包 定义5 包含具有自反性的最小模糊关系称为自反闭包，记为。 ①，且是自反的 ② 自反闭包求法 3．截矩阵 （1）定义6 设，，记 其中 则称为的截矩阵。 截矩阵就表示截关系。 可以类似定义。 例 2 设 若取，则 若取，则 （2）性质 ① ② 注意： 四、F关系的合成 1．定义 例1 设表示一群人, 表示“兄弟”关系，表示“父子”关系。若且，那么与有什么关系？ “叔侄”关系。反之，若与有叔侄关系，则必存在使且。 在这个例子中，“叔侄”关系由“兄弟”关系和“父子”关系确定的新关系，或者说由和运算得到。 新关系： 用特征函数表示N和Q，R的关系，则有： 推广到模糊关系情况，有下面定义： 定义1 设，Q对R的合成就是从到的一个F关系，记作，隶属函数定义为： “叔侄”关系=“兄弟”关系合成“父子关系”，即 定义2 当，记 例2　设 则 其中 例2　设 则 其中： 即 2．性质 ①结合律： 证　因为 因此 ,　 　# 推论　 ②　 其中： 0为零关系 　为恒等关系 ③ （上的关系） ④（对分配） 证 所以 类似地 # 分配律对任意并也成立。即对任意指标集,有 分配律对交成立吗？ 设，， ，， ，， 但 所以 因此 事实上，对任意交仅有包含关系，没有等式成立。 ⑤　设，则 证　只要证两边矩阵元素相等即可。 左边行列为1的充分必要条件是右边行列为1，从而两边相等。 推论　 ⑥　 证　设，，按转置关系定义，有 因此　 推论　 定理1　设，则 证　根据分解定理3，只须证明 因为　 所以　 类似可证　 五、F关系的传递性 例1 朋友关系 0.8 乙 0.4 甲 丁 0.6 丙 0.8 甲与丁：0.4（通过乙） 0.6（通过丙） 甲与丁：大于等于0.6----传 小于0.6------不传 1．定义1　设，若，则称是传递关系。 等价定义：设，如果 ，具有传递性