数学建模论文-江河竞渡的优化模型.doc

江河竞渡的优化模型 一、符号说明 ：水流的速度 单位：m/s ：游泳者的速度 单位 m/sV：第一名游泳的速度 单位：m/s t：第一名游泳所用的时间 单位：s θ：游泳方向与 水流方向的夹角 y：竞赛区两岸的垂直距离 单位：m S：竞赛区的水平距离 单位：m L：水的位移 单位：m t：游泳者所用的时间 单位：s ：竞赛区第i段的垂直距离 单位：m ：竞赛区的第i段的水平距离 单位：m 二、模型的建立与求解 模型假设： ⑴不考虑风力对水速的影响。 ⑵不考虑水温对人的体力影响。 ⑶不考虑江面风浪等水情对人的影响。 ⑷将起点和终点均看作一点，记为A，B。 ⑸江面宽度保持不变，即两岸是保持平行的。 模型 Ⅰ：（水流恒速模型） 问题1： 通过对本题的分析，利用流体力学原理及图论的分析方法，建立模型。当竞渡区域每点的流速均为1.89m/s时，在14’8’’的时间内，水流的位移为： L==1602.72 m 断定游泳者的速度在逆水方向上有一分量，即游泳者速度的方向应与水流的反方向成一定夹角，设此夹角为θ，如图⑴。 于是可得 解得 由题可知，长江水流速度的大小和方向是不变的，令游泳者的速度为V，方向与水流反方向成θ角，于是可得： 消去，我们可以得到夹角θ与速度的关系为：。 当V=1.5m/s时，代入可得。此时，=1160/（V×sinθ）=910.491s。即游泳者的V=1.5m/s时成绩为910.491s，在此种情况下，游泳者所走的路线为从武昌汉阳门至汉阳南岸咀的一条直线。 问题2： （1）在问题1的假设下，当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，可以列出以下方程式 因为=1.89m/s，得出=2.1924m/s。 即：当游泳者速度≥2.01924m/s时，他们能到达终点。 当游泳者速度＜2.01924m/s时，他们将无法到达终点。 有分析可知：人的游泳速度在1.5m/s，不可能达到2.1924m/s，所以，日如果从一开始路线选择错误，将无法到达终点。 （2）模型中看出影响游泳者到达终点的因素主要是：水流速度、游泳者的速度V和该速度方向与水流方向的夹角θ，以及竞赛区域的水平距离S和垂直距离y。在2002年，全程长度较1934年要短的多，因此，若想到达终点，就必须要求游泳者速度比较快。 如图⑵，合速度OS应保持在OA直线上，即当水流速度为1.89m/s时，根据力的平行四边形定则，ON=MS当MS⊥OA时，MS取得最小值。 根据已知，OB=1160m，OM=1.89m/s。在1934年时，当OA=5000m时，。 在2002年时，，。 显而易见，在1934年时，只要游泳者的速度大于0.43848m/s，就能到达对岸，而一般人的游泳速度要比这个速度大的多，因此在此前提下，路线略有变动，也不致被冲到下游，最终能够到达终点。而在2002年的这次比赛中，要求比赛者的速度必须大于1.4315m/s，且要求方向准确，因此友一定的难度，只有部分人员选择了正确的方向，而大部分人被冲到了下游，所以到达终点的人数较少。因此，2002年能游到终点的人数的百分率比1934年要小的多。 （3）由上面分析可知，能够到达终点的选手必须满足如下条件： a.游泳选手的身体素质要好，游泳速度在1.4315m/s以上。 b.游泳选手的方向感要强，以调整方向选择正确的路线。 模型Ⅱ：(水速分段变化的模型) 问题3的求解 根据水的流速，将游泳路线分为三个阶段考虑，在每一阶段上速度为一定值，与第一问的情况大致相同，所走路线如图（3）所示。设在三段中，所用的时间分别为，且，于是可得以下关系： 目标函数为：。 结合模型Ⅱ通过编程求的最优解：即游泳者在个路段中的游泳方向与水流反方向的夹角分别为：各交界点坐标分别为： A（94.062112，200），B（802.749845，960） 游泳者所走路线的函数方程为： 游泳者的路线在各段中均为直线，如图（3）所示。 竞渡共需时间：。 问题4的求解 当水的流速为连续分布时，仍将此模型分为三个阶段。设在三个阶段的速度分别为，在第一阶段和第三阶段时，和y呈线性关系，为了计算时间，取这两段的平均速度为研究对象，于是可得： 所以的分布为： 与问题3大致相同，由程序同理可得： 共需时间为： 整个游泳过程中，设t时刻时游泳所处的位置为： 由题意可得： 解得： 在第一、三阶段中，我们取得是水流的平均速度，在此前提下选手的游泳方向和大小不变，θ也为一定值。