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基于G-P算法计算关联维的讨论
张朝曦 傅强 钟纪华 陈亦望
(解放军理工大学理学院流体力学研究中心,江苏南京,211101 )
摘要 关联维是一个重要的混沌不变量,基于G-P算法计算关联维数时,由于许多参量的选
取存在很大的主观性,导致不同的研究人员得到不同的结果。本文主要基于Lorenz系统进行
讨论,指出采用G-P算法方法计算关联维数时,应对相关参数进行慎重的选取和细致的研究,
通过具体讨论,表明不同的范数对计算关联维的影响很小;时间序列数据量的取值应以能够
获得稳定的分数维为最佳;重构相空间嵌入维数并非随意指定,也不是越大越好,对Lorenz
系统而言最大取到10为好。
关键词 重构相空间,G-P算法,关联维数,参数选择
一、引言
自从分形理论产生以来,分形维数作为刻画动力系统是否具有混沌特征的定量指标之
一,倍受研究者们的重视。近几十年来,从实验数据中计算分形维数的方法得到了发展,基
于延迟嵌入空间思想,Grassberger和Procaccia[1]在1983年提出了一个针对实验时间序列的分
析方法,即通过单变量时间序列在重构相空间上关联积分C(r)与距离r 的关系获取分形维数
(简称G-P算法),由于它特别适用于实验观测数据且算法简洁易于实现,因此获得了广泛
的应用,从而使评价混沌系统的分形特征进入实际应用阶段。李昕等[2,3]利用G-P算法估算
了大气湍流的相关维,丁晶等[4,5]用该方法对长江日流量混沌变化特性进行了研究。
Eckmann和Ruelle[6]认为G-P算法对时间序列的大小要求很大,Kantz和Schreiber[7]指出,
在不提供C(r)与距离r 的关系曲线局部斜率图、没有显示明显的标度区的情况下, 任何关联维
估计值都是不可信的。Ding等[8]指出用于确定斜率的区域经常被任意选定,难以对关联维
做出客观评价。王安良等[9]发现延迟时间与重构相空间维数对连续动力系统和离散动力系
统的作用效果是不同的,且选择最佳延迟时间对计算关联维数的意义不大。党建武等[10]所做
的关于尺度r 的取值范围和取值序列的研究有益于分形理论的实际应用。总之,这些参量的
选取存在很大的主观性,导致不同的研究人员得到不同的结果。
本文主要利用Lorenz系统,基于G-P算法计算关联维。对不同的范数、时间序列数据量、
重构相空间嵌入维数在计算关联维时的影响进行了讨论。
二、基本理论和相关问题
1、重构相空间理论
在处理实际问题时,通常不知道所研究的系统有多少个状态变量,更不知道所有状态变
量的演变规律,往往仅拥有对系统的一个或少数几个状态变量的离散观测序列。要想获得混
沌表征量如奇怪吸引子的关联维,通常需要引入重构相空间理论。1980年由Packard等[11]
提出的用时间序列重构系统的相空间(严格说来是虚拟相空间而不是真正的相空间)来恢复
原吸引子的理论以及Takens[12]后来提出的嵌入定理,使我们可以由单变量实测资料重建出
原动力系统的吸引子,并研究其特征。
设观测到的时间序列为:x ,x ,L, x ,适当选取一个时间延迟量τ ,构造一个m 维空
1 2 n
间,相空间中的向量为:
X ⎡x ,x +τ ,Lx +( −1)τ ⎤T (1)
i ⎣ i i i m ⎦
其中i 1,2,L, N ,N n =−(m −1)τ , n 为原时间序列点数,通过以上方法构造出N 个m 维
矢量,m 称为嵌入维,这N 个矢量在m 维相空间描述出的轨迹,在m ≥2d +1 时,(d 是
原状态空间吸引子的维数)可重现原吸引子的几何特征。
2、用G-P算法计算关联维数的介绍
通过考察嵌入空间中半径为ε 的球内的点数随半径减缩为零这种变化的方式,可以从实
验时间序列中估算出该值。首先定义关联函数 C(r) :
1
C r θ r=− x −x
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