线性代数习题册答案2.pptVIP

§2.1矩阵的概念与运算 3.利用逆矩阵，解线性方程组 解: 线性方程组可写成矩阵方程 Ax=b, 其中 则 由于 A可逆. 方程组的解为 四、设方阵A可逆，求证 可逆,并求它们的逆阵。 证: 因为方阵A可逆，则 ，则 k A可逆，且 五、1、设A、B为n阶方阵，其中B可逆且 证明： A 和 A+B都可逆. 证: 因为方阵B可逆，则 则有 所以 A 和 A+B都可逆. 2、设方阵A满足方程 其中I为单位阵，证明 A可逆并求它的逆矩阵。 证: 因为方阵A满足方程 则有 所以A可逆，且 3、设方阵A满足方程 试证明 A+I 和 A?3I 都可逆, 并求它们的逆阵. 证: 因为方阵A满足方程 则有 即有 也即有 所以 A+I 和 A?3I 都可逆, 且 §2.3 初等变换和初等矩阵 一、填空题 1、 解: = ________ 2、其中 ，则 = ____________ = ____________ = ____________ 解: 本题初等矩阵的求逆问题。 2、其中 ，则 = ____________ = ____________ = ____________ 解: 二、选择题 1.设A为n阶可逆矩阵, 则( ). (A) 若 AB = CB , 则A ＝C ; (B) A总可以经过初等变换化为E; (C) 对 施行若干次初等变换, 当A变为I时, I相应地变为 (D) 以上都不对. 解: 由于矩阵乘法不满足消去律, 所以选项(A)错误. 对 只能施行初等行变换, 所以选项(C)错误. 由于A为n阶可逆矩阵, 所以A总可以经过初等变换 化为I. 选项(B)正确. B 2. 设 则必有( ). 解: 是三阶单位阵1,2两行对调得到的初等阵, C A右乘初等阵相当于对A进行初等列变换, 而矩阵B是 矩阵A的第3行加第1行再1,2两行对调得到的. 由排除法知选项(C)正确. 是三阶单位阵第3行加第1行得到的初等阵. 故选项 (A),(B)(D)均不正确. 三、利用初等行变换求矩阵的逆矩阵 逆矩阵为: 2. 逆矩阵为 3. 4. 逆矩阵为 逆矩阵为 方法2: 将矩阵分块: 逆矩阵为 四、已知 解: A可逆. 一、填空题 1.设A为三阶方阵, 解: 2. 的充分必要条件是_______. 证: 先证必要性: 第二章 习题答案 再证充分性: 证毕. 二、选择题 1. 设A , B都是n 阶矩阵, 的充分必要条件是( ). (A) A = I ; (B) B = 0 ; (C) AB = BA ; (D) A = B . 解: 当且仅当AB = BA时, 故应选(C ). C 2. 设A , B都是n 阶矩阵, 则( ). (A) |A+B| = |A|+|B| ; (B) |A?B | = |A|?|B| ; (C) |AB| = |BA| ; (D) AB = BA . 解: 显然(A),(B),(D)都不正确. 对于(C), |BA| = |B||A|, 而|A||B| = |B||A|, 故选项(C)正确. 由于|AB| = |A||B|, C 3. 设A , B , C 都是n 阶矩阵, 若AB = BA , AC = CA, 则ABC = ( ). (A) ACB ; (B) CAB ; (C) BCA ; (D) CAB . 解: 由于AB = BA , AC = CA , 则ABC = 故选项(C)正确. C 用直接计算法求解. BAC = BCA . 4. 设A , B 都是n 阶对称矩阵, 则下面四个结论中 错误的是 ( ). (A) A+B 也是对称矩阵; (B) AB 也是对称矩阵; 也是对称矩阵; 也是对称矩阵; 解: 由于 由于 选项(C)和(D)的结论也是正确的. 由于 所以 也是对称矩阵, 选项(C)的结论正确. 由于 所以 也是对称矩阵, 选项(D)的结论正确. 三、设 ，I为二阶单位阵，B满足 ，求 解： 所以 四、计算题 1.已知 求 A?B+C; ?A+3B+2C . 解: 2.已知 解: 3、已知 解： 4.计算 解： 5.计算 解： 五、证明题 证: 先证必要性: 再证充分性: 证毕. *六、设 A为n阶方阵，称 为矩阵多项式，设 （1） （2） *六、解： （1） *六、解： （2） *七、试证任意方阵可以写成对称阵和反对称阵的和。 证明： 设C