线性代数第五章(第二讲).pptVIP

* 第五章 相似矩阵与二次型 第二节 相似矩阵 一、 相似矩阵的定义 二、 相似矩阵的性质 三、 方阵的对角化 一、相似矩阵的定义 定义1： 设A,B都是n阶方阵， 若存在可逆阵 ，使得 则称B是A的相似矩阵， 又由于： 则也称 A是B的相似矩阵， 对A作运算 ，称为对A作进行相似变换， 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵。 或者称A与B相似； 或者称B与A相似； 二、相似矩阵的性质 证明: 定理1： 若n阶矩阵A与B相似， 则A与B的特征多项式相同， 从而A与B的特征值亦相同。 [证毕] 推论： 若n阶方阵A与对角阵 相似，则 也是方阵A的n个特征值。 证明： n阶方阵A与对角阵 相似 方阵A与对角阵 的特征值相同 是对角阵 的n个特征值。 又 也是方阵A的n个特征值。 [证毕] k个 利用对角矩阵计算矩阵多项式： 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 证明： 三、方阵的对角化 定义3： 对于方阵A， 若 可逆 则称方阵A可对角化。 定理2： n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化) A有n个线性无关的特征向量 n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化) 可逆P 可逆P 可逆P 可逆P 可逆P 是方阵A特征值， 是方阵A的特征值 的特征向量。 由于P可逆， 推论： 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似。 说明： 　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． [证毕] 线性无关。 方阵A的n个特征向量 , 求A能否对角化？若能对角化， 例1： 解: 则求出可逆矩阵P使 为对角阵。 (1).当 时，对应方程组 的基础解系为： (2).当 时，对应方程组 的基础解系为： 所以 可对角化. 　注：即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应． 第五章 相似矩阵与二次型 第三节 对称矩阵的相似矩阵 一、 对称矩阵的性质 二、 利用正交矩阵将对称矩阵对角化 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 证明： 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 一、对称矩阵的性质 设 为A的特征值, 和 设 ，则 又 至少 或者 为实数。 证明 A为对称阵 证明 它们的重数依次为 　　根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系