信号分析与处理第4章-2b.ppt

* * ■ 第4章 离散时间信号的分析 4.1 连续时间信号的时域抽样 4.2 离散时间信号的z域分析 4.3 离散信号的傅里叶分析 第4章 离散时间信号的分析 信号分析与处理 4.3 离散信号的傅里叶分析 4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系 一、s平面与z平面的映射关系 （即 或 第4章 离散时间信号的分析 其中 ， 。重复频率为 1推导 ） 2结论：由此可得s～z平面有如下的映射关系： 1）、s平面的整个虚轴（ ） 映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面（ ）映射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面（ ）映射到z平面是单位圆的圆内。 4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系 4.3 离散信号的傅里叶分析 2）s平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；s平面平行于实轴（ω=ω0是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当 时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。 3） s平面和z平面的映射关系不是单值的（多对1）。 由于 是以2π为周期的周期函数， s平面与z平面的映射关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为 的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上 二、Z变换与傅里叶变换的关系 1）连续信号虚轴上的拉普拉斯变换对应于傅立叶变换，离散时间信号单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。 2）因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包含单位圆。 4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系 4.3 离散信号的傅里叶分析 一、离散时间傅里叶变换的定义 当z在单位圆上取值 ，即 可得到 离散时间序列x(n)的傅里叶变换（DTFT）和傅里叶反变换（IDTFT）。 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 1推导 1）X(ejΩ)又可以写成 X(ejΩ)表示序列x(n)的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，|X(ejΩ)|称为幅度频谱，φ(Ω)称为相位频谱，二者都是Ω的连续函数。 2）由于ejΩ是变量Ω以2π为周期的周期性函数，因此X(ejΩ)也是以2π为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随Ω周期变化的。 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 2特点 一、离散时间傅里叶变换的定义 3举例：例4-10 求 的离散时间傅里叶变换，其中|a|1。 解 离散时间单边指数信号的傅里叶变换为 显然，要使上式成立，必须有|a|1。 图4-16(a)和(b)给出了a=0.8时X(ejΩ)的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出0 ≤Ω≤ 2π或-π≤Ω≤π区间的频谱，如图4.16(c)和(d)所示。 例4-11 求序列x(n)=δ(n)的傅里叶变换。 解 由定义式得 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 一、离散时间傅里叶变换的定义 例4-13 若 求其傅里叶变换X(ejΩ)。 解：由定义式得 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 其中，幅频特性为 相频特性为 1. 线性 2. 时移与频移 设x(n)?X(ejΩ) ， 时移性质为 设x1(n)?X1(ejΩ)， x2(n)?X2(ejΩ) ax1(n) + bx2(n) ? aX1(ejΩ)+ bX2(ejΩ) 二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 频移性质为 4. 反转与 DTFT的对称性 3. 时域信号的线性加权 设x(n)?X(ejΩ) ， 那么线性加权性质为 二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 反转性：设x(n)?X(ejΩ) 则[x (-n)] = X(e-jΩ) 对称性：设Even,Odd分别为x(n)的偶序列和奇序列，则 x(n)为实偶对称函数，则X(ejΩ)为实偶对称函数 x(n)为实函数，则X(ejΩ)的模为偶对称函数，相位为奇对称函数 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ejΩ)=X(ejΩ)·H(ejΩ) 5. 卷积定理 设 y(n)=x(n)·h(n) 则 频域卷积定理 4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质 6. 帕斯维尔(Parseval)定理 4.3