【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1.ppt

* 2．4.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 课堂互动讲练 知能优化训练 2.4.2　抛物线的简单几何性质 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 y2＝2px (p0) x2＝2py(p0) |MF|＝dM－l 焦点 点到准线的 距离 知新益能 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 问题探究 抛物线x2＝2py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？ 提示：有一条对称轴；不是中心对称图形． 课堂互动讲练 抛物线性质的应用 考点突破 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件． 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 例1 解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称， 焦点弦问题 例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】　设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解． 直线与抛物线的位置关系问题 涉及到直线与抛物线位置关系问题，通常联立方程构成方程组，消元得到x(或y)的二次方程，然后利用Δ或根与系数的关系或弦长公式求解. 如图所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点． (1)写出直线l的方程； (2)求x1x2与y1y2的值； (3)求证：OM⊥ON. 例3 抛物线中的最值或定值问题 (1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化,某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值． 如图，已知△AOB的一个顶点 为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点 都在抛物线上，且∠AOB＝90°. 证明直线AB必过一定点． 【思路点拨】　由∠AOB＝90°知OA⊥OB，两直线OA和OB斜率用k统一表示，利用k表示A、B两点坐标． 例4 【名师点评】　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果． 方法感悟 1．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心，是无心曲线． 2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式如表所示： 1．焦点为F的抛物线标准方程是，准线方程为y＝－的抛物线标准方程是． 2．抛物线定义的实质是，其中点F是抛物线的，dM－l是抛物线上的． 对称轴 x轴 y轴 顶点坐标 O(0,0) 焦点坐标 (，0) (0，) 准线方程 x＝ y＝ 离心率 e＝1 (－，0) (0，－) x＝－ y＝－ 【思路点拨】　→→→ → 【解】　由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)， 焦点F，直线l：x＝， A、B两点坐标为，，|AB|＝2|p|. OAB的面积为4， ·||·2|p|＝4，p＝±2. 抛物线方程为y2＝±4x. 变式训练　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，|AB|＝2，求抛物线方程． ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， |y1|＝|y2|＝， 代入圆方程x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，解得，x＝±1， A(±1，)或A(±1，－)， 代入抛物线方程，得()2＝±a，a＝±3. 所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋，这就是抛物线的焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦长问题． 【