6.2 一元方程的不动点迭代法.ppt

第六章非线性方程组的迭代解法 6.2 一元方程的不动点迭代法 6.2.2 局部收敛性和加速收敛法 6.2.1 不动点迭代法及其收敛性 6.2.1 不动点迭代法及其收敛性 （6.2.1） 的实根，先将它转化成等价形式 （6.2.2） （6.2.3） 把（6.2.1）转换成等价形式（6.2.2）的方法很多，迭代函数的不同选择对应不同的迭代法，它们的收敛性可能有很大的差异。当方程有多个解时，同一迭代法的不同初值，也可能收敛到不同的根。举例说明如下。 例6.2 解 对应的迭代法分别为 表 6-2 1 … … 112.3964844 121.5 1.5 11 2 1 0 1 1 3 3 - + k k x x k 例 6.3 解 对应的迭代法为 表6-3 1 1-11-11-1111.5 -1.5 1 -1 5 4 3 2 0 定理6.1 (6.2.4) 则对方程（6.2.2）有 （6.2.5） 证 显然有 （6.2.6） 由估计式（6.2.5）可知，只要相邻两次计算结果的偏差 足够小，且 不很接近1，既可保证近似值 具有足够的精度。因  此，可以通过检查 的大小来判断迭代过程是否终止。并  且，由（6.2.5）有 （6.2.7） 有时，对于一些不满足定理6.1的条件问题，可以通过转化，化为适合于迭代的形式。这要针对具体情况进行讨论。 6.2.2 局部收敛性和加速收敛法 定理 6.2 上述定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个 充分条件。当迭代收敛时，收敛的快慢用下述收敛阶段来衡量。 定义6.2 （6.2.8） 对 ，必有 ,k=1,2,…，而且 其中在 与 之间。于是 从而，在这种情况下，{x k }是线性收敛的。可见，提高收敛阶的一个途径是选择迭代函数 ，使它足 。下面给出整数阶超线形收敛的一个充分条件。 　　定理6.3 设 是 的一个不动点，若有正整数p 2,使得 在 的领域上连续，并且满足 则由迭代法生成的序列在的领域是p阶收敛的，且有 证 因 ，由定理6.2知迭代法(6.2.3)是局部收敛的。取充分接近 的 , 设 有 ， k=1,2,…。由Taylor展开式有 其中 在 与 之间。由(6.2.9)有