8.3 单步法的收敛性和稳定性.ppt

第八章常微分方程数值解法 8.3 单步法的收敛性和稳定性 8.3.2 单步法的稳定性 8.3.1 单步法的收敛性 8.3.1 单步法的收敛性 数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种 差分方程（例如，（8.1.8）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程 的解 ，是否收敛到微分方程的准确解 。 定义8.3 对于任意固定的 ，若对于初值问题（8.1.1）的显式 单步法（8.1.8）产生的近似解 ，均有 　 ，则 称该方法是收敛的。 在定义中， 是固定的点，当 时有 ，n不是固定的。显 然，若方法是收敛的，则在固定点 处的整体截断误差 趋 于零。下面给出方法收敛的条件。 定理8.1　　设初值问题（8.1.11）的单步法（8.1.8）是p阶的（ ），且函数满足对y的Lipschitz条件即存在常数 ，使 对一切 成立，则方法（8.1.8）收敛，且 　　。 因为（8.1.8）是p阶的，所以存在 ，当 时有 。 再用 的Lipschitz条件有 为了方便，记 ，即有 。由此可推得 证 仍记 ，根据局部截断误差的定义 将此式与（8.1.8）相减得 利用关系式 可以得到 现在取 ，有 ，于是有 。定理得证。 容易证明，如果（8.1.1）的 满足Lipschitz条件是,且初值是正确的，则显示Euler法、改进的Euler法和R-K方法是收敛的。由定理8.1说明,f关于y满足Lipschitz条件是使单步收敛的充分条件，而且，还说明一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶。所以，常常通过 求出局部截断误差去了解整体截断误差的大小。 单步法的显式形式（8.1.8）可写成 （8.3.1） 称 为增量函数。对于收敛的方法，固定 ，有 从而 。对于（8.3.1），我们自然要考虑 是否成立。这就是相容性问题。 则称方法（8.1.8）与初值问题（8.1.1）是相容的。 相容性说明数值计算的差分方程（8.3.1）趋于（8.1.1）中微分方程。我们本章 讨论的数值方法都是与原初值问题相容的。 定义8.4　若方法（8.1.8）的增量函数 满足 8.3.2 单步法的稳定性 对于一种收敛的相容的差分方程，由于计算过程中舍入误差总会存在，我们 需要讨论其数值稳定性。一个不稳定的差分方程会使计算解失真或计算失败。 为了讨论方便起见。将（8.1.1）中的 在解域内某一点 作 Taylor展开并局部线性化，即 令 利用线性化的关系，可得 。因此，我们通过如下的试验方程 （8.3.2） 讨论数值方法的稳定性。当某一步 有舍入误差时，若以后的计算中不会逐步 扩大，则称这种稳定性为绝对稳定性。 现在讨论显式Euler法的稳定性。将显式Euler法用于试验方程（8.3.2），有 。当 有舍入误差时，其近似值为 ，从而有 。令 ，得到