8.4 线性多步法.ppt

第八章常微分方程数值解法 8.4 线性多步法 8.4.2 基于Taylor展开的方法 8.4.2 基于Taylor展开的方法 8.4.1 基于数值积分的方法 8.4 线性多步法 常微分方程初值问题（8.1.1）的数值解法中，除了Runge-Kutta型公式等单步法之外，还有另一种类型的解法，即某一步的公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径，下面先讨论基于数值积分的方法。 8.4.1 基于数值积分的方法 将（8.1.1）中的方程在区间 上积分，可以得到 （8.4.1） 如推导Newton-Cotes求积公式一样，用等距节点的插值多项式来替代被积函 数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。 例如，用梯形方法计算积分项 代入（8.4.1）式有 据此即可导出公式（8.1.4）。 一般地，设由 个数据点 　　 构造插值多项式 ，这里， 　　 。运用插值 公式有 将（8.4.1）离散化即得下列计算公式 （8.4.2） 其中 由此可得（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。 表 8-6 j 0 1 2 3 4 1 3 -1 23 -16 5 55 -59 37 -9 1901 -2774 2616 -1274 251 应用实例： 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述：F=ma。实验表明，空气阻力模型 为 ，其中 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气 的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型： 负号表示下降。显然，当 1 p 2 时，适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法 求其他需要计算的值。当 p=1 时，取 h=0.2 有 可见，三秒末跳伞员的末速度约有 21 。 若将模型修改为 p=1.1，取 h=0.2，则有计算结果： 可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示 + 表示 p=1时的解，* 表示 p=1.1时的解 在上述Adams显式公式的推导中，选用了 作为插值 节点。这样的插值多项式 在求积区间 上逼近 是一 个外推结果。为了改善逼近效果，我们变外推为内推，即改用 为插值节点，用数据点 　构造插值　 多项式 ，则有 于是我们有如下的计算公式 （8.4.3） 其中 其具体数值见表 8-7。公式（8.4.3）是隐式公式，称为 Adams隐式公式。 r=0，1时分别为隐式 Euler公式和梯形公式。 表8-7 j 0 1