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第5章导热问题的数值解法 航空航天工程热物理研究所 第5章 导热问题的数值解法 工程技术中常遇到几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难，目前还无法得出其分析解。 5.0 基本思想和求解步骤 一、基本思想 对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为： 二、求解步骤 结合二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题，说明求解过程的各个步骤。 2. 区域离散化 如图 步长 网格线的交点为节（结）点 节点所代表的小区域称为控制体（控制容积） 3. 建立节点物理量的代数方程，即离散方程 框图 5.1 二维稳态导热（无内热源） 一、区域离散化 区域的划分取决于几何上的方便、所要求的计算精度 节点↑，网格密，计算精度↑，但计算时间长 二、内部节点离散方程的建立 二、内部节点离散方程的建立对于无内热源、稳态导热，由热平衡原理 4 个相邻控制体向内部节点（ ）代表的控制体的导热量 = 0 3. 可求解的条件 未知数数目=方程组数目 三、边界节点离散方程的建立 三、边界节点离散方程的建立 边界上温度未知，如第二、三类边界条件或绝热边界条件，须补充列出边界节点方程。 (1) 平直边界第三类边界条件 if ，则： (2) 绝热平直边界 If ，则： 此式为式(H) 在 时的特例。 四、所有方程联立求解，可求出所有温度值 五、解法（解线性代数方程组） 代数方程的求解方法有两大类：直接解法、迭代解法。 采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进。 1、以下面一线性代数方程组为例联立求解用（高斯—赛德尔迭代法） 当 ，即 则可表示为 2 求解步骤 (1) 设初始值 ， （带括号的上角码为迭代次数序号） 照此逐次计算下去。对于 的第 次近似值，可用同项形式表示如下： 计算过程的终止 (a) 绝对差值: 5.2 非稳态导热数值解 非稳态导热与稳态导热问题数值解法的基本思想是一样的 空间区域离散化 过程经历的时间域离散化 将 划分成许多（如 个）小的时间区间 ，则 二、离散化方程的建立 三、差分格式的稳定性 1 显格式 扩散项取中心差分非稳态项取向前差分 2 解的稳定性 有的差分格式的计算结果与真值十分相近。有的差分格式的计算结果严重偏离真值，甚至发生上下震荡，得不到结果。 3 解不稳定的原因 当计算从一个时层向下一个时层推进时，任何一个时层的解取决于前一个时层的计算结果，而每次计算时，四舍五入总是难免的 能保证舍入误差不被放大的差分格式称为稳定的差分格式，否则为不稳定的差分格式。 4 判断差分格式的稳定性 由课本(5-4) 上式表明：点 上 时刻的温度是在该点 时刻温度的基础上涉及了左右两邻点温度的影响后得出的。 如果两邻点的影响保持不变，合理的情况是： 由(5-4)式可见，要满足这种合理性，必须要求 前的系数大于或等于零。 5 举例说明 一无限大平板，厚 ， ，两侧表面温度突然升高至 ，试用数值法求平板内温度变化。 将平板按步长 分成10 份，并取 结果出现了 和 。从物理意义上分析，可知 。 因此，上述计算结果是荒谬的，原因是 不满足稳定性条件，要改变这种情况，只有 也就是说，在时间与空间离散时， 和 的选取是相互制约的。 6 隐格式 有时为了提高计算精度，需要令 。但在显格式中，令 ，必须同时令 ，且下降速率大于 。这就使得计算量大大增加。如何解决？ 采用隐格式。注意，扩散项用 时层上的值来表示。 扩散项取中心差分，非稳态项取向后差分。 7 克兰克—尼科尔森格式（六点格式） 隐格式：扩散项（空间域）取中心差分，为二阶精度。但非稳态项（对时间域）取向后差分，为一阶精度。 显格式：扩散项取中心差分，二阶精度。非稳态项取向前差分，一阶精度。 7 克兰克—尼科尔森格式（六点格式） 为了使空间域、时间域的计算精度保持一致，并主要是为了提高时间域的计算精度，需对非稳态项取二阶精度。为此目的，可采用克兰克—尼科尔森格式。 但