几何分类证明.ppt

几何分类证明 * * （2008年海南23题） 如图12，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. A B C D P E 1 2 H 图13 图14 (E) E 解：以下分三种情况讨论： ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ∵ PB=PE，∴ ∠PBE=∠PEB，∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴ PE⊥PD. （ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°，∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. A B C D P E 1 2 H E 2 （2010海南）23. 如图10，四边形ABCD和四边形AEFG均为正 方形，连接BG与DE相交于点H． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜ ∠BAE＜180°），设△ABE的面积为 ，△ADG的面积为 ，判断 与 的大小关系，并给予证明． C F G E D B A 图10 H B C C A B D E G F M N Ｈ A B C D E F G A B C D E F G 图1 图2 图3 解：以下分三种情况讨论： ①当0°＜∠BAE＜90°时 过点B作BM⊥直线AE于点M， 过点D作DN⊥直线AG于点N． ∵∠MAN=∠BAD=90° ∴∠MAB=∠NAD 又∠AMB=∠AND=90° AB=AD ∴△AMB≌△AND ∴BM=DN 又AE=AG C A B D E G F M N Ｈ ②当∠BAE=90°时 如图 ∵AE=AG ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD ∴△ABE≌△ADG 　　　　 A B C D E F G ③当90°＜∠BAE＜180°时 如图 和①一样；同理可证综上所述，在（3）的条件下，总有． A B C D E F G M N （海口市模拟试题一23题）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着折线A-B-C的路线向终点C运动，连结DM交AC于点N，连结BN。 （1）如图12.1，当点M在AB上运动时。 ①求证：⊿ABN≌⊿AND ②若∠ABC=60度，∠ADM=20度，求证：MB=MN ⑵如图12.2，若∠ABC=90度，记点M运动所经过的路程为X， 求使得⊿MNB为等腰三角形时X的值。 图12.1 图12.2 图a 图b