离散数学(刘任任版)第16章答案.pptVIP

2. ??? 设 。乘法运算定义如下表： 0 1 0 0 1 1 1 0 易知， 单位元，运算满足封闭性和结合律，且 。 故是群。 3. 解。因A无单位元，故A不成群。且 ,无结合律。 4. 证明： 又 因此， , 于是， 得 , 再由(1)知， , 故有 . 5. 证明：对任意 ，有 。故G是交换群 6. 证明：任取 。若 ，则 和 在G中成对出现。注意到群G的元素个数为偶数，因此，在G中满足 即 的元素个数也是偶数。但e满足 . 故除e之外，至少还有一个 , 使得 7. 证明：设1至4阶群分别为 1) 显然， 是交换群。 2) 是交换群。 3) 对 ，若 ，则有 ，即 , 从而 （矛盾）; 同理 ，若 , 则有 （矛盾）。因此必有 。又 故 是交换群。 4) 对于 。 (i) 若 中两个元素互为逆元，不妨设 ，则必有 且 , 否则有 或 a=e 。同理可证 。 (ii) 若 各自以自身为逆元，即 ，则必有 总之， 是交换群。 设 。由S上的所有3元置换所组成的集合 对于置换的乘法运算构成一个群（见P271）。但它不是交换群，即 8:证明：（1） 因为对任意整数k， 当且仅当 。所以 a的周期是无限的，当且仅当 的周期是无限的. 若a的周期是k（正数），则 的的周期 由对称性有 . 因此， . 故a与 的周期相同。注意到 ，于是 当且仅当 当且仅当 。因此 与a的周期相同。 （2） 由（1), 只须证对任意整数k， 当且仅当 . 当 时，结论显然成立。今设 。则 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当且仅当 . 再设 。令 ，由上有 当且仅当 时。注意到对任意 , 当且仅当 ，于是 当且仅当 . 故 当且仅当 . 9. 证明：任取 ,则对任意 , 有 ，从而 因此， .故 是G的子群. （注：10题在后面） 11. 证明：因为 ,所以存在整数s,t使得 .于是 但 , H是G的子群. 故 . 12. 证明（一）：设s和t的最小公倍数为n。ab的周期为m。因为ab=ba ,所以， ，从而 . 又设 因为 ，所以 。 又 ，因此， ， 从而， 。于是 , 即 。因此 . 故 . 证明（二）：设ab的周期为m。 因为 且 ，所以 （否则， ，从而得m=0。此与m的假设矛盾）。于是， ，即m是s和t的公倍数。若s,t的最小公倍数不是m而是 ，则 ，且 此与m的假设矛盾。得证。 13. 证明：若 ,则存在 且 , 即存在整数s,t，使 且 。因p是质数，所以存在整数m,n, 使 .于是， ，即 , 矛盾。故 . 14 :解设 于是，根据置换的乘法运算规则，有