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第一章 第一节 一、 集合 表示法： 2. 集合之间的关系及运算 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 3、区间与邻域 半开区间 （2）绝对值 数轴上点 x 到点 a 的距离为 二、函数 3、 函数符号 4、函数值 5、函数图形: 例. 6. 函数的几种特性 有时还要用到有上界或有下界。 例1 设 (2) 单调性 或当 (3) 奇偶性 双曲函数与反双曲函数 又如, 例5：设 (4) 周期性 求周期函数的周期的方法： 三. 反函数与复合函数 例如 , 例7： 求 高等数学 例8 求 (2) 复合函数 例如, 函数链 : 例9：设 例10：已知 四. 初等函数 1、幂函数 幂函数的图形和性质 指数函数 2、指数函数 特别有以e 为底的指数函数： 3、 对数函数的定义 对数函数的性质 特别：自然对数函数 例1： 4、三角函数 （2）余弦函数的性质 （3）正切函数 正切函数的性质 （4）余切函数 （5）正割函数 （6）余割函数 5、反三角函数 （1）反正弦函数 反正弦函数的性质 （2）反余弦函数 反余弦函数的性质 （3）反正切函数 反正切函数的性质 （4）反余切函数 注意: 6、非初等函数举例: 常用几个的初等函数公式 内容小结 作业 （1）在[ -1, 1 ]是有界函数。 （2）是非奇非偶函数； （3）在 上是单调减函数。 定义 正切函数 在 内的反函数， 称为反正切函数，记为 定义域： 值域： 其图形： （1）在 （2）是奇函数 （3）在 上是单调增函数。 内是有界函数 性质 （1）在 （2）是非奇非偶函数； （3）在 内是单调减函数。 内是有界函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 2) 函数 称为 f ( x）的反函数。 或 习惯上,函数 的反函数记成 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 反函数的性质: 或者 如图所示： PQ连线的中点坐标 在直线 上 可利用 的图形 得到其反函数的图形。 的图形 就是对称于其直接函数 的图形。 的反函数， 并指出它们的定义域和值域。 解： 解出 x 得 定义域 值域 主讲教师: 王升瑞 第二讲 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 反函数 定义域为 定义： 的定义域内， 对于函数主要掌握把一个函数通过步骤，熟练地 分解为几个简单函数。 则 即： 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 不能构成复合函数 . 可定义复合函数 但函数 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: 或 求 解： 即： 求 f ( x ) . 解： 1、 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 2、 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 . 可表为 故为初等函数. 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . 无论 为何值， 幂函数在 内总是有定义。 反比例函数： 定义域为： 1、图形都通过点（1，1）。 2、 时，图形过原点， 且在 内单调增加。 3、 时，图形在 内单调减少。 图像特点及性质： （3） 曲线从左到右逐渐上升。 曲线从左到右逐渐下降。 但与 x 轴不相交. (4) 与 的图形对称于 y 轴. （1）图形在 x 轴的上方 （2）图形均过点 性质： e 为无理数。 的反函数记为 称为对数函数, 指数函数 与对数函数 互为反函数。 2、图形在 y 轴的右方 1、图形均过点 (4) 与 的图形对称于 x轴. 不与 y 轴相交。 曲线从左到右逐渐上升。 曲线从左到右逐渐下降。 3、 的反函数记为 称为自然对数函数, 互为反函数。 与 验证函数 是单调增加的。 证： 且 是单调增加的。 则此函数为奇函数 判断函数 的奇偶性. 解 例2 1、 是有界函数； 是奇函数， 4、周期 3、 是单增函数； 此为最小周期。 图形关于原点对称； 值域W: [-1, 1] （1）正弦函数的性质 1、 是有界函数； 是偶函数对称于y 轴； 4、周期 3、 是单减函数；。 值域W: [-1, 1] （1）在定义域中是无界函数； （2）是奇函数； （3）在 内是单调增函数； （4）周期为 性质： （1）在定义域 （2）是奇函数； （3）在 内是单调减函数； （4）周期为 中是无界函数； 三角函数的对应关系在其定义域内是单值的， 但是， 它们的反对应关系是多值的。 根据反函数的 定义， 三角函数在其定义域内是没有反函数的。