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卧式倾斜油罐储油量的数学模型 摘要 本文中建立了计算卧式倾斜油罐储油量的计算模型，为了在已经倾斜的油罐上标定新的符合标准的罐容表，在已给出数据的基础上，用微元法计算出油量的计算公式，进行误差的分析，算出误差函数，用误差函数对计算出的函数进行拟合，并对油罐有一定倾斜角度的情况下进行演算，得出新的符合标准的罐容表，最后再讨论分析后，对模型作出评价。 模型一，用积分法求出理论值，然后与实验数值算出误差，算出误差函数，并将误差函数与积分法求出的函数进行拟合，求出一个符合油量高度数值的目标函数。 模型二，采用割补法，将倾斜油罐转化为水平油罐，然后进行积分计算，并用附件2中的数据进行检验，得出罐内储油量与变位参数（横向偏转角和纵向偏转角）之间的一般影响。 关键字：卧式倾斜油罐 误差分析 微元法 误差函数 拟合 一、问题的重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 我们采用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为(=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度(和横向偏转角度( ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。 二、问题分析 由于问题中涉及到罐容表的变化，我们必须首先对体重所出现的几种情况进行分析，得出油罐位置变化前后的不同状况，综合考虑给出的数据比较具体，油罐的形状比较规则，我们将其转换为规则几何体来进行建模，通过排除干扰因素对模型进行优化，决定采用微元法对问题进行求解，根据理论计算得到的理论值，与题目中给出的实验值进行比较，得出两者的误差，并进行误差分析。从而可以对问题得出比较合理的解决办法。 模型一，由于倾角的存在，使得油罐中的油不再是规则几何体，因此无法使用一般方法对其进行求解，而必须采用高等数学中的微元法进行建模。由于第一题中，油罐中的油量有三种情况，根据油罐的倾角比较小和进出油实验的数据，我们只考虑第二种情况。 模型二，由于需要同时考虑横向和纵向的变位，变化的条件增加，直接进行求解难度非常大，于是我们采用近似割补法将不规则的几何体转化为较为规则的几何体，然后对其进行积分演算，求出油量高度与油量的线性关系，从而得出答案。 三、问题假设 1．假设油的密度是不变的。 2．假设形状无畸变形。 3．假设测定过程中油料都是在同一温度下测定。 4．假设油料的黏着性对测定无影响。 四、符号说明 ：表示椭圆长半轴长 ：表示椭圆短半轴长 ：表示储油罐的底长 ：表示油浮子显示的油位高度 ：表示纵向倾斜角度 ：表示横向倾斜角度 五、模型建立、求解与误差分析 5.1模型I 5.1.1 无变位情形 我们首先建立小椭圆型储油桶在无变位时的体积模型，并通过附件1所给的无变位时的进油和出油量的数据，检验我们的模型的正确性。 设储油桶的底面的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，油高为，如图1， 此时油桶内的有的体积为： (1) 根据（1）式用Matlab可得出储油罐内容积在附件一中进油时随油的高度变化曲线，并和附件中的实验数据进行了比较（程序见附录1），见图2 图2 从图像上分析，实验数据和我们建立的模型的误差曲线近似一次函数，我们考虑使用最小二乘拟合求出误差曲线的函数方程，利用误差函数来修正我们建立的模型的数据得到目标函数图像为图3（程序见附录2） 图3 利用修正过的目标函数可以给出储油罐纵向变位角度为时每隔1cm的罐容表1： 刻度表 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 油量 329.28 353.91 379.44 405.8