《实变函数》期末试题解答.docVIP

《 实变函数》期末试题参考答案 第1题 （1）×（2）×（3）×（4）∨（5）× （15分） 第2题 由于函数在上可测, 存在简单函数使得 (5分) 在上a.e. 成立。此时是上的简单可测函数。 又由于是上 的 连续函数, 故 a.e. （5分） 于是 是E 上的可测函数. （5分） 第3题 被积函数可以展开为非负项级数 ， （5分） 根据Levi 定理，此级数可以逐项积分 . （7分） 实际计算 , （8分） 所以 . 第4题 由的平方可积性， 存在使得 /8. （6分） 再由在\=上的可测性，根据Luzin定理，存在连续函数使得在 e 上，而在上并且/8, （4分） 此时有 （5分） 第5题 若则 于是由Holder不等式 （9分） 现在令，则得到 （7分） 第6题 充分性 设是的一个分划，则 这说明是有界变差的， （6分） 从而几乎处处有导数是可测的并且 （5分） 由于 所以 a.e. （4分） 必要性 设是的不定积分， a.e.，明显的 . 即满足Lipschitz条件. （5分）