《常微分方程》期末测试卷.docVIP

常微分方程期末测试卷(15) 班级： 学号： 姓名： 得分： 填空（每空3分） 1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 2、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 。 3、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 。 4、形如 的方程称为欧拉方程。 5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。 6、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。 7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。 求下列方程的解 1、 （6分） 2、 （8分） 3、 （8分） 4、 （8分） 5、 （6分） 6、 （8分） 7、 （8分） 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分） 答案 填空（每空4分） 形如的方程，， 存在常数，使得，有 （C为非奇异方程） 连续且关于y满足利普希兹条件 等于零，稳定中心 求下列方程的解 1、（6分） 解： 故方程的通解为 2、（8分）解：两边除以： 变量分离： 两边积分： 即： 3、（8分）解：令则 于是 得 即 两边积分 于是，通解为 4、（8分）解： 积分： 故通解为： 5、（6分）解：齐线性方程的特征方程为， ，故通解为 不是特征根，所以方程有形如 把代回原方程 于是原方程通解为 6、（8分）解：齐线性方程的特征方程为，解得 于是齐线性方程通解为 令为原方程的解，则 得， 积分得； 故通解为 7、（8分）解： 则 从而方程可化为 ，， 积分得 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分） 解：解方程组，解得 所以（1，3）为奇点。 令 则 而， 令，得 为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。