《数学分析续论》模拟试题（三）.docVIP

《 数学分析续论 》模拟试题（三） 实数完备性问题．（１５分） ( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理． ［答（１）］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限． 　　区间套定理：若为一区间套，即满足： ①； 　　②， 则存在惟一的，． ［证（２）］设为递减且有下界的数列，欲证收敛．为此构造区间套如下：令；记，再令 ……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套，使得恒为的下界，而不是的下界．　由区间套定理，，．下面进一步证明 ． 根据区间套定理的推论，时， ． 由于恒为的下界，而不是的下界，故对上述，必有；且因为递减数列，当时满足，于是，这就证得． 　　同理可证为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明．　　　　　　　□ 二、（１０分） ( 1 ) 写出中点集为开集的定义； ( 2 ) 用定义证明：若、都为开集，则并集与交集 亦都为开集． ［答（１）］所谓是开集，是指中所有点都是的内点．即，，满足． ［证（２）］设、都为开集，下面证明为开集．为此任取，由，则或．根据开集定义，，使得，或 ，从而．这就证得为中的一个开集．　　 　　类似地可证亦为开集，请读者自行写出它的证明．　　　　　　　　　□ 三、（１０分）已知在区间上连续，且为一一映射．证明：在上必为严格单调函数．（提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性．） ［证］倘若在上不是严格单调函数，则，使得 ， 不失一般性，设．现任取满足，则由连续函数的介值性，，使得．而这与在上为一一映射的假设相矛盾，所以在上必为严格单调函数． □ 注意　在函数为连续的前提下，严格 单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下， 一一映射的不一定是严格单调的．例如右 图所示的函数，它在上是一 一映射，但却不是严格单调的． 四、（１０分） 设 ． 试求． ［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得： ， ． □ 五、（１５分） 证明：在个正数的乘积为定值的条件 之下，这个正数的和的最小值为．并由此结果推出以下不等式： ． ［证］用 Lagrange 乘数法，设 ， 并令 ． 由于的最大值不存在，最小值存在，因此 ； 并有 ． 以 代入上式，则得所求之不等式 ． □ 六、积分问题．（２０分） 画出曲线 ；并求由该曲线和直线以及轴 所围图形的面积； （２）设为连续函数，证明： ． ［解（１）］为画出曲线，可先改写其方程为 　　　　 此曲线和直线以及轴所围图形如右图 所示．其面积计算如下： ［证（２）］作变换，把原积分化为 由此移项后即得 ． □ 七、级数问题．（２０分） 证明：； 证明：． 　　　 提示：利用幂级数 ，． ［证（１）］考察级数．由于 ， 故此级数收敛．依据级数收敛的必要条件，便证得． ［证（２）］考察幂级数．由于 ， 因此．从而求得 ． □ 2