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《数学归纳法》教学设计 浙江省黄岩中学数学组 赵国藩 《数学归纳法》是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容.本章的目标是培养学生学会合情推理，通过归纳和类比，进行猜测和发现新结论，并会演绎推理证明，养成言之有理、论证有据的习惯.数学归纳法正是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具.n=k+1时结论正确. 本节课借助多媒体呈现多米诺骨牌等教学素材辅助课堂教学，运用启发探究式的方法进行教学，计划实施如下教学过程. 教学第一阶段：创设问题情境，启动学生思维（）的值吗？ 追问1：你能求出的值吗？你是如何求得的，保证正确吗？ 追问2：你能求出的值吗？你是如何求得的，保证正确吗？ 追问3：你归纳得到的猜想是什么？对每一个正整数（即所有的正整数）全都成立？ 追问4：你认为你的猜想需要证明吗？你有什么办法说明你的猜想对所有的正整数全都成立？ 追问5：你觉得证明猜想的难点在哪里？你能结合生活中的实例提出一些证明思路吗？ 设计说明：其实在求的值的过程中，学生就会自觉的使用数列的递推关系进行计算，能归纳出数列的通项公式的猜想，但证明猜想的正确性涉及对无穷的探究，对学生而言是一个新问题，它能够激发学生的学习兴趣。自然引出本节学习的新方法（数学归纳法），使学生认识学习数学归纳法的必要性，将满怀好奇和热情学习新知识. 为了寻求一种能够通过有限个步骤的推理，来证明与正整数都成立的数学问题的方法，今天我们一起学习新课内容------数学归纳法. 第二阶段：类比生活实例，激发学习兴趣 1、探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件 观看多媒体“多米诺骨牌”游戏动画演示，引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件； ①第一块骨牌倒下； ②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 设问：通过观看“多米诺骨牌”游戏动画演示，你能分析“多米诺骨牌”全部倒下的需要满足哪些条件？ 设问：你认为条件（2）的作用是说明？ 设问：你认为满足这两个条件，所有摆放的骨牌都会倒吗?即使再有很多很多，甚至是无穷多个骨牌，骨牌也将依次一直倒下，直至全部倒下吗？ 设问：你还能举出一些生活中类似“多米诺骨牌”的实例吗？ 设计说明：学生通过对生活中实例特别是对“多米诺骨牌”“的感性认识，能很好的理解数学归纳法无限的递推思想.同时也能感受到数学思想和方法来源于生活，平时就要主动观察和思考，学会归纳和类比，勇于发现和创新. 2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式的猜想 设问：你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比“多米诺骨牌”游戏解决这个问题吗？ 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 （1）第一块骨牌倒下 （1）当n=1时 ,猜想成立 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下 （2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时，即当n=k+1时猜想也成立 根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立 这个猜想的证明方法 正整数有关的命题的证明方法 （1）第一块骨牌倒下 （1）当n=1时,猜想成立 （1）当时命题成立 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下 （2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时，即当n=k+1时猜想也成立 （2）若当n＝k（k≥n0，k∈N*时命题成立，即，则当n=k+1时真真，即当n=k+1时命题也成立 根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，命题成立 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立； （2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时，命题也成立. 只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立. 上述方法叫做数学归纳法. 设问：请谈谈你对两个步骤的认识？中的初始命题成立，在这里初始值可以从1开始或2开始，即是从n的最小值开始．初始命题成立起着奠基的作用，是归纳递推的基础． 设问：证明的第二步又说明了什么？ 数学归纳法的第二步是证明命题具有传递性，它说明“只要成立，那么也成立”这样的逻辑推理是成立的． 设问：在证明若真真(k(N*)成立中你认为证明的条件是什么？结论是什么？你是如何理解假设真的？ 多米诺骨牌这n＝k类似于多米诺骨牌中的“前一块”， “n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立”就是“前一块已经倒下”相应，证明结论“n＝k＋1时命题也成立”就是要证明“导致后一块一定倒下”递推关系.数学归纳法的第二步实质就是证明命题对自然数n具