数学建模论文-彩票问题模型.doc

彩票问题模型 摘要 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有传统型（10选6+1）和乐透型（N选M、N选M+1）两类。 利用排列组合计算出每一种彩票类型各奖项的中奖概率。 对问题一：我们建立了一个模糊综合评价模型。建立综合评价体系，综合评价集为各奖项出现的可能性、奖项、对彩民的吸引力，因素评价集为最高奖项的中奖概率、总的中奖概率、奖项的设置、最高奖项的金额、低项奖总额。 采用专家群体判断法确定彩票方案评价指标权重，从而确定模糊转换矩阵。根据各单因素的具体值，求得模糊权向量B。计算出每个方案综合评分矩阵为。最合理的是方案25，综合评分：0.079938567，名次：1；最不合理的是方案1，综合评分：0.013485406，名次：29。 对问题二：我们通过对彩票获利情况进行分析，发现来源于彩票的销量，而彩票的销量决定于彩票对彩民的吸引程度。彩票对彩民的吸引主要由彩票的最高奖项的奖金，中奖概率，和低项奖金的综合决定。经过加权和归一化处理，以彩票对彩民的吸引力为目标函数建立了一个非线性优化模型，利用Lingo11.0编程求得最佳的方案为： 在乐透型 (N选7)中建议方案： 方案 一等奖比例 二等奖比例 三等奖比例 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 中奖概率 最高奖金 X值 1/28 0.718 0.141 0.141 320 32 19 3 0.0377 717000 0.2309 7/39 0.584 0.208 0.208 2685 179 107 11 0.012 4917197 0.2189 在乐透型 (N选6+1)中建议方案： 方案 一等奖比例 二等奖比例 三等奖比例 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 中奖概率 最高奖金 X值 6+1/21 94% 3% 3% 40 16 4 3 1.81% 682920 0.2218 6+1/30 58.40% 20.80% 20.80% 1176 406 58 23 0.47% 4998896 0.2155 问题三：一方面我们从数学的角度说明彩票中大奖是小概率事件，切忌不能孤注一掷想靠彩票来暴富。另一方面又说明买菜票乐趣不少，买的是梦想贡献的是中国福利事业。 关键词：彩票方案 模糊综合评价 非线性优化模型 归一化处理 问题重述 1.1问题背景： 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列。去年全国福利彩票发行968亿元，实现了跨越式发展。福彩发行量3455亿元，年均增长18.9%，为发展社会福利和公益事业作出了新的重要贡献。 1.2问题重述： 传统型和乐透型两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 二、问题的分析 1、对问题一的分析： 首先，问题一中的“合理性”可理解为彩票方案中奖项、奖金额的设置，中奖的概率，对彩民的吸引力等各因素是否合理。 要对问题1进行求解，关键是要确定评价指标。经过对问题分析，将评价指标集划分为两层：综合评价集、因素评价。集合评价集为各奖项出现的可能性、奖项、对彩民的吸引力，因素评价集为最高奖项的中奖概率、总的中奖概率、奖项的设置、最高奖项的金额、低项奖总额。 确定评价指标后，可以采用模糊综合评价模型进行求解得到彩票方案“合理性”的排名，从而确定最佳的彩票方案和最差的彩票方案。 2、对问题二的分析： 问题二是一个非线性优化问题。因为总奖金比例一般为销售总额的50%，可知彩票管理部门的获利只与彩票的总销量有关，而彩票的销量又由彩票对彩民的吸引力决定。 彩票对彩民的吸引力，由彩票的合理性、头奖的金额、低项奖金总额、中奖概率决定。从而确定目标函数为彩票的合理性、头奖的金额、低项奖金总额、中奖概率的和最大。 由于一等奖的单注保底金额60万元，封顶金额500万，中奖概率之和为1。从而确定约束条件。 最后就可以建立非线性优化模型。 3、对问题三的分析： 要给报纸写一篇短文，供彩民参考。则在短文中，既要从数学的角度说明彩票中大奖是小概率事件，切忌不能孤注一掷想靠彩票来暴富，又要说