数学建模优秀论文-DVD在线租赁方案的优化模型.doc

DVD在线租赁方案的优化模型 何荣坚、庞淑婷、曹国威 摘 要 本文对DVD在线租赁的需求预测、购买与分配等相关问题，进行合理的简化假设，得到该问题的数学模型.对于DVD张数问题，根据需求预测表（题中表1），计算租赁周期上、下限的平均值，应用图论知识，利用会员对DVD的偏好程度建立二部图和图论度的计算得出对应不同平均租赁周期的DVD数量结果.针对DVD的现有张数和订单数，给出了权重矩阵和满意度函数，建立以最大整体满意度为单目标的0-1整数规划模型，利用Lingo8.0软件中的@ole函数从Excel中读取权重系数矩阵，求解出最大整体满意度和其分配方案.利用在线订单，以最大整体满意度和最小购买量为多目标的0-1整数规划模型，通过线性加权法化多目标为单目标规划，利用Lingo8.0软件求解出当时，其最大整体满意度分别为980.48，1000，978.3，1000，其最小购买量分别为981，1475，1805，2085.从网站角度考虑，分析需求预测、购买分配中联系的参变量，确定了几个值得研究的问题，提出并建立了以网站最大收益和最大整体满意度为多目标的规划模型. 关键词：0-1整数规划；租赁周期；满意度 1 问题的提出 考虑如下的在线DVD租赁问题.顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务.会员只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求.会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的.网站会根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发. 请考虑以下问题： 1）通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数.假设网站现有10万个会员，对其中5种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD？ 2）如今给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD. 3） 如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD 进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型. 2 基本假设与符号约定 2.1 基本假设 2.1.1 网站在不太长的时间内会员人数没有太大的变化,网站每月的月费收入基本保持不变； 2.1.2 不同电影的DVD的价格相差不大，视作相等； 2.1.3 网站用速递方式将DVD送交给会员，以及会员将DVD邮寄给网站的时间都很短，视为即日到达.邮寄每次都是三只DVD，而且邮费都是一定的； 2.1.4 允许网站不对部分订单作处理； 2.1.5 每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD.会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁； 2.1.6 60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次. 2.2 符号约定 ：会员总数，其中在问题一中，万；在问题二、三中，； ：DVD种数，其中在问题一中，；在问题二、三中，； ：会员租借DVD的平均租赁周期； ：DVDj的现有张数，； ：DVDj在会员的定单中的偏好程度，，； ：会员对DVDj的权重系数， ，； ：对于网站的分配方案,会员的满意度，； ：所有会员对网站分配方案的总满意度. 3 DVD数量的图论模型 3.1 平均周期的上、下限 会员租DVD一次（含看及周转DVD）的时间称为租赁周期，而个会员的平均租赁周期为.一般情况下，一个月内租DVD一次的会员当中，最小租赁周期为15天，最大租赁周期为30天；一个月内租DVD两次的会员当中，最小租赁周期为5天，最大租赁周期为15天.根据上面所述及假设2.1.6可得平均周期上、下限.计算其平均值（数学期望），有： 于是 3.2 图论模型 令为会员集合， 为不同DVD集合. 以为顶点集，若会员愿意观看，则连一条边，则得到一个图（二部图） 易知：中每个顶点的度，，，， .的度与的度相等，，，即 是一个简单二部图或偶图. 3.3 模型的转化及求解 1）设DVD应准备的张数为； 2）用表示会员一个月租DVD的张数（不同），或，它是一个随机变量； 由假设3及“每次获得3张DVD”知，； 3）试在中找一个生成二部子图，（满足或6）. 3.4 DVD数量的计算 1）一个月50%的满足： 的结果为： 平均租赁期 9 10 11 12 13 DVD1 3001 3334 3667 4001 43