数学论文-Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件.doc

Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件 (孝感学院数学与统计学院，湖北 孝感，432100) 摘要：1911年，Frobenius给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式： 本文给出使Frobenius不等式取等号的一个充要条件，获得一些有趣的结果，讨论了它的若干应用． 关键词：矩阵的秩；Frobenius不等式；三幂等阵 A New Necessary and Sufficient Condition for Equality in Frobenius Inequality YAN Li-ping（071112404） (School of Mathematics and Statistical of Xiaogan University, Xiaogan Hubei 432100) Abstract: The well-known Frobenius rank inequality established by Frobenius in 1911 states that the rank of the product ABC of three matrices satisfies the inequality rank A new necessary and sufficient condition for equality to hold is presented and then some interesting consequences and applications are discussed. Key word: rank of matrix; Frobenius inequality; tripotent matrix 1 引言 矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献[1-8]中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献[1]利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式： 命题1[1] 设，则 （1） （2） （3） （4） 命题2[1] 设，，则 （5） 在命题1与命题2的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]． 文献[2]以矩阵Schur补的秩可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式： 命题3[2] 设，则 （6） 由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式： 命题4[2,3,4]设，则 （7） 文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征： 命题5[5] 设，则 （8） 此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或幂等矩阵的，主要方法是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式： 命题6[4] 设，，则 （9） 其中分别是的最大公因式与最小公倍式． 分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指 命题7[4] (Frobenius不等式) 若分别是域上的，，矩阵，则 （10） 特别地，当命题1中矩阵是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式． 在文献而文献献[11]中证明了 对任意的广义逆由命题2立即得到正如[12]中作者在文末中评论的文献[11].能否得出等号成立的较为简洁的条件? 这看来也是一个不简单的问题．” 本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广． 本文中所有记号与文[1]相同Roth） 设，，，则矩阵方程 （14） 有解的充分必要条件是矩阵 与 （15） 等价（相抵）. 定理1 设，，，则 （16） 的充分必要条件是存在矩阵、使得. 证明　由（16）式得到 因此