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幂零矩阵迹的特征 （孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘 要：2009年全国大学生数学竞赛第题是向量空间是上的线性变换，且满足那么的所有特征值均为0并且和之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等），求证和有公共特征向量，并且求出和的公共特征向量. 关键词： 幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3 item)： Based vector space V is the complex field are the linear transformation, and satisfies , Then all the eigenvalues of are 0, Between and there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that , Verify:and have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector. 1 　引言 在2009年举行的全国大学生数学竞赛是维线性空间），是上的线性变换，证明的所有特征值0，且特征向量大学生数学竞赛是上的向量空间是上的线性变换，可对角化，且满足，使得是零变换．（2002年苏州大学研究生试题） 由于的所有特征值0是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛下不变，最后利用的迹为零的结果，间接导出的特征值0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明是幂零矩阵呢？ 另外，对例1中关于有公共特征向量是复数域上维线性空间上的线性变换，则和都是复数域上的阶方阵，满足，则和而言，关于的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵的讨论. 本文将讨论与解决如下问题： 1、关于矩阵或线性变换的性质； 2、对满足或的线性变换之间的特征向量为阶矩阵，令，则具有如下基本性质： 性质1　. 证明 设、，则，. 性质2 对任何阶矩阵，. 证明 反证法 假设，则由性质1可知，显然矛盾，所以.命题得证. 性质3 设，是阶矩阵，令，且同，可交换，求证：存在整数使 . 证明 因为同，可交换即，所以有,即与可交换.同理可证（）与可交换，（）与可交换. 下证（）. 同理可证：.下证的所有特征值为零. 设的所有特征值为，所以的所有特征值为.下面证明都为零. 由，可得： 设的不为零的特征值分别为，且分别为重.则上式可 写成： 令，所以上式可写成.而由范德蒙行列式可知，又的特征值互不相等，所以，所以上式只有零解，所以的特征值全为零. 若的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在使.命题得证. 注：对于中的线性变换，令，则有（为恒等变换）.[13] 3 可换矩阵的公共特征向量 命题1 若，且，则与一定存在公共的特征向量. 证明 因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间 设，则，设为的一组基，则，于是有，. 在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量. 由于为的一组基，设 （1） 由，则，即得，.则有，，使得 下步将寻找不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量. 而 由及线性无关，得 （2） 即 ， 记，即得 ， 也即 （3） 当时，上式有非0解，此式说明是的特征值.命题1证毕. 命题1证明了与有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在的特征向量.于是有推论： 推论 1 若复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则与至少有个线性无关的公共特征向量. 证明 设是的个互不相同的特征值，