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二次函数 丰台二中 郑新春 一、教学目标 1.复习二次函数的有关知识，进一步掌握二次函数的图象和性质，掌握配方法； 2.能根据二次函数的图象理解二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，理解一元二次不等式的解法； 3.能根据二次函数的图象确定其解析式，掌握待定系数法； 4.进一步体会数形结合是研究函数性质及用函数解决问题的最重要的方法之一，在交流对话过程中完善知识结构，分享他人的思维成果，在问题解决过程中体会转化化归的数学思想方法、数学的严谨与逻辑，获得成就感。 二、教学重点 二次函数的解析式确定其图象特征，由二次函数的图象信息解决一些简单的问题 三、教学难点 二次函数的图象信息的灵活运用 四、教学方法 先学后教，交流对话，启发推进 五、教学媒体 纸质预习提纲、PPT、Edraw Max、Geogebra、实物投影、黑板、三角板等。 六、教学过程 环节1 完善知识结构 “数形结合”是研究函数性质及解决与函数相关的实际问题的重要数学思想方法，其实质是数量特征与图形特征的对应及其相互转化。基于这种思想方法，请你回答下列问题： 1. 请你在下面的坐标系中画出函数y=x2+2x-3的图象，描述该函数图象的特征，并说明利用该函数的图象能解决哪些问题？ 预设：图象特征有开口向上，与y轴的交点坐标（0，3），对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），与x轴有两个交点，其坐标分别是(-3,0)，(1,0)，纵坐标相同的点到对称轴的距离相等，距对称轴远的点的纵坐标较大，当x-1时，y随x的增大而减小，当x-1时，y随x的增大而增大，x-3或x1时，y0，-3x1时，y0. 可以解决的问题有：求函数在某个自变量的取值范围内的最大值或最小值，解不等式x2+2x-30(0,≥0,≤0)，比较两个不同的自变量的取值所对应的y的取值的大小，若（x1，b）,(x2，b)均在函数图象上，则x1+x2=-b/a，x1x2=(c-b)/a. 小结：图象特征与系数的对应关系，图象特征与二次函数的性质的关系。 2.如果让你给出二次函数的图象的部分信息来确定该函数的解析式，你会怎样给？请举例说明（至少举三例——不同图象特征）。体会确定函数的解析式的基本方法。 (1)任意三个点；(2)顶点和任意一点；(3)与坐标轴的交点 小结：二次函数解析式的3种形式；待定系数法是确定二次函数解析式的基本方法，其基本思想是建立关于“系数”的方程（组）并求解。 设计意图：通过具体函数的图象特征的分析，回忆二次函数的图象和性质，渗透数形结合的思想方法，使二次函数的相关知识结构化，条理化。 环节2 落实基本技能 3．将下列二次函数化为顶点式 (1) y=x2-3x (2) y=-2x2+4x-3 (3) y=2(x-2)(x+4) 解：(1) 顶点坐标为，即，所以。 (2) 顶点坐标为，即（1，-1），所以y=-2(x-1)2-1. (3)=2(x2+2x+1-9)=2((x+1)2-9)=2(x+1)2-18 令y=0得，x1=2,x2=-4，所以，顶点的横坐标为，所以顶点的纵坐标为2(-1-2)(-1+4)=-18，所以y=2(x+1)2-18 小结：配方法或利用顶点坐标公式。 4．已知二次函数的图象过（0，1），顶点为（-1，3），求该二次函数的解析式。 (1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则 ，，解得a=-2,b=-4,c=1，所以二次函数的解析式为y=-2x2-4x+1 (2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+3，则a(0+1)2+3=1，所以a=-2，所以y=-2(x+1)2+3=-2x2-4x+1 (3) 设二次函数的解析式为y=a(x-0)(x+2)+1，即y=ax(x+2)+1，则a(-1)(-1+2)+1=3，所以a=-2, 所以y=-2x(x+2)+1=-2x2-4x+1 小结：待定系数法，选择合适的二次函数的解析式形式。 设计意图：熟悉并掌握配方法和待定系数法，渗透方程（组）思想。 环节3 训练数学能力 5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），其中-2x1-1，与y轴交于负半轴上一点。判断下列结论是否正确，简要说明理由。 (1) abc0; (2)4a-2b+c0; (3)ab; (4)-ac-2a; (5)当-1x1时，y0; (6)若函数图象上有两点（2，y1）和（-3，y2）,则y1y2. 解：根据已知条件画出二次函数的大致图象，根据图象可知开口向上（a0），与y轴交于负半轴（c0）,对称轴x=0（b0），1+x1=-b/a，x1=c/a，x=-1时，y0，x=-2时，y