佐藤徹-東京大学大学院環境モデリング統合学研究室.docVIP

佐藤　徹 環境?エネルギー流体力学　講義ノート（その１） Ⅰ　自由表面波 線形分散関係 １．１　重力波 素成波の速度ポテンシャル： (1-1) 支配方程式はLaplace方程式： (1-2) 式(1-1)より (1-2) 一般解： (1-3) 底面の境界条件： at (1-3) 式(1-3)より 、 (1-4) 一方、水面の形は、ベルヌーイの定理より (1-5) ここで水面の境界条件： at (1-6) よって求める分散関係は (1-7) 式(1-7)より波の伝播速度（位相速度）は (1-8) 浅水波（shallow water）：（非分散波） (1-9) 深水波（deep water）：（長い波ほど速い） (1-10) 船の速度を表す無次元数（一般に重力の効果を表す）：Froude数 (1-11) 2　群速度 表面張力波を考慮した線形分散関係 (1-12) 群速度： (1-13) deep water（） (1-14) 従って、の最小値は (1-15) 但し、 進行する物体が作る波 二次元波 1つの物体が作る波 水面上を進行する物体から見た物体の作る波の波高を (2-1) とすると、波は物体から見て定常（時間変化はない）であるから、 (2-2) 波の位相速度は (2-3) 従ってUの速度を持つ素成波以外は存在しない。よって式(2-1)は (2-4) またdeep waterの重力波を考えると、式(1-10)より、 (2-5) （２）2つの物体が作る波 簡単のため2つの同形没水体を考える。一つの物体後方にできる波を 距離Lだけ離れた2つの物体の作る波は、 (2-6) のとき、すなわちのとき波は消える（式(2-1)参照）。 Kelvinパターン（進行する物体が作る三次元波） 水面上を進行する物体から見た物体の作る波の波高を (2-7) とすると、波は物体から見て定常（時間変化はない）であるから、 (2-8) 波の位相速度は (2-9) 従っての方向にはの速度を持つ素成波以外は存在しない。また前方へ進む波のみ考えればよいから、。よって式(2-7)は (2-10) ここでdeep waterの重力波を考えると、式(1-9)より、 (2-11) 各素成波の山（谷）が重なるところが三次元波の山（谷）になる。wave patternとは定位相の山（谷）の稜線（包絡線）のこと。したがって (2-12) を満たす座標を追跡すればwave patternが得られる。 停留条件 (2-13) (2-14) (2-15) 波が存在するにはでなければならない。とすると、。線形波のパターンは物体の速さに関わらず、この角度になる。 一方、式(2-14)より (2-16) これを式(2-12)に代入すると、 (2-17) これを結べば三次元波の山（谷）の稜線（Kelvin Pattern）が得られる。 環境?エネルギー流体力学　プラクティス（その１） （１） (1-7)を導出せよ。 （２） (1-15)を導け。 （３） 群速度は式(1-13)で与えられる。以下の設問に答えよ。 deep water とshallow waterの各々の場合のの時（重力波）及びの時（表面張力波）のを、位相速度を用いて表せ。 今、小石を広くて深い池の真ん中にぽちょんと投げ入れた時円状に広がる波を考える。この波（重力波）の先頭は、小石の数倍程度の長さで決まる最大波長の波成分の群速度で伝播する。この波紋には最後の波があり、最後の波の内側は静水面となる。この最後の波の群速度を求めよ。（、とする。） 環境?エネルギー流体力学　プラクティス（その１）　解答 （１） 　　 = となるｋを考える。　とすると ここで、ｇ0より、　とすると （２） 　１．重力波の群速度は、　より 　???（＊） 　　 表面張力波の群速度は、　より 　　???（＃） 　　　 deep waterのとき、 　（＊）（＃）から重力波、表面張力波それぞれの群速度を求める 　重力波　 　表面張力波　 shallow waterのとき、 　同様にして求める 　重力波 　 表面張力波 　２． 　深い池での群速度は、式(1-15)より 但し、。 今、 を代入すると