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一、多元函数的概念-广东嘉应学院.doc

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第八章 多元函数微分学 教学内容 多元函数的概念,二元函数的极限和连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质,, 全微分存在的必要条件和充分条件,复合函数、隐函数的微分法,方向导数和梯度的概念及其计算,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,二元函数的极值和条件极值的概念,取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法,拉格朗日乘数法,多元函数最值的简单应用。。 教学目的、要求 1.理解多元函数的概念,了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质。 2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。 3.理解方向导数和梯度的概念,并掌握其计算方法。 4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求隐函数的偏导数和全导数。 6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,掌握它们的方程的求法。 7.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,会解一些简单应用题。 重点与难点 1、重点:多元函数的概念,偏导数与全微分的概念,多元复合函数的求导法则,用拉格朗日条件极值求最大值应用问题,方向导数与梯度。 2、难点:全微分的概念,多元复合函数的求导法则。 第一节 多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 (1) 邻域 设是平面上的一个点,是某一正数,与点距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为, (2)区域 例如, 即为开集. 连通的开集称为区域或开区域. 例如, 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如, 例如, 有界闭区域 , 无界开区域. (3) 聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点. 说明: 内点一定是聚点;点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 例如,, (0,0) 是聚点但不属于集合. 例如,,边界上的点都是聚点也都属于集合. (4)n维空间 设为取定的一个自然数,我们称元数组的全体为维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数称为该点的第个坐标. 说明: n维空间的记号为n维空间中两点间距离公式 设两点为 特殊地当时,便为数轴、平面、空间两点间的距离. n维空间中邻域、区域等概念 邻域: 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义. (5)二元函数的定义 设是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称是变量的二元函数,记为(或记为). 类似地可定义三元及三元以上函数. 当时,元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例1:求的定义域. 解: 所求定义域为 (6)多元函数的图形 设函数的定义域为,对于任意取定的,对应的函数值为,这样,以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点,当取遍上一切点时,得一个空间点集,这个点集称为二元函数的图形. 二、多元函数的极限 定义1 设函数的定义域为是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为函数当,时的极限, 记为 (或这里 说明: (1)定义中的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. 例2 求证 证明: 当时, 证毕. 例3 求极限 解: 其中=1 例4 证明不存在. 证: 取 其值随k的不同而变化,故极限不存在. 确定极限不存在的方法: (1) 令沿趋向于,若极限值与有关,则可断言极限不存在; (2) 找两种不同趋近方式,使存在,但两者不相等,此时也可断言在点处极限不存在. 利用点函数的形式有元函数的极限 定义2 设元函数的定义域为点集是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为元函数当时的极限,记为. 三、多元函数的连续性 定义: 设元函数的定义域为点集是其聚点且,如果则称元函数在点处连续. 设是函数的定义域的聚点,如果在点处不连续,则称是函数的间断点. 例5 讨论函数在(0,0)处的连续性. 解:取 = 当时, 故函数在(0,0)处连续. 例6 讨论函数在(0,0)处的连续性. 解:取 其值随k的不同而变化,极限不存在.故函数在(0,0)处不连续. 闭区域上连续函

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