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一、多元函数的概念-广东嘉应学院.doc
第八章 多元函数微分学
教学内容
多元函数的概念,二元函数的极限和连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质,, 全微分存在的必要条件和充分条件,复合函数、隐函数的微分法,方向导数和梯度的概念及其计算,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,二元函数的极值和条件极值的概念,取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法,拉格朗日乘数法,多元函数最值的简单应用。。
教学目的、要求
1.理解多元函数的概念,了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质。
2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。
3.理解方向导数和梯度的概念,并掌握其计算方法。
4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求隐函数的偏导数和全导数。
6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,掌握它们的方程的求法。
7.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,会解一些简单应用题。
重点与难点
1、重点:多元函数的概念,偏导数与全微分的概念,多元复合函数的求导法则,用拉格朗日条件极值求最大值应用问题,方向导数与梯度。
2、难点:全微分的概念,多元复合函数的求导法则。
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
(1) 邻域
设是平面上的一个点,是某一正数,与点距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,
(2)区域
例如, 即为开集.
连通的开集称为区域或开区域.
例如,
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,
例如, 有界闭区域
, 无界开区域.
(3) 聚点
设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点.
说明:
内点一定是聚点;点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.
例如,, (0,0) 是聚点但不属于集合.
例如,,边界上的点都是聚点也都属于集合.
(4)n维空间
设为取定的一个自然数,我们称元数组的全体为维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数称为该点的第个坐标.
说明:
n维空间的记号为n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当时,便为数轴、平面、空间两点间的距离.
n维空间中邻域、区域等概念
邻域:
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.
(5)二元函数的定义
设是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称是变量的二元函数,记为(或记为).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当时,元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1:求的定义域.
解:
所求定义域为
(6)多元函数的图形
设函数的定义域为,对于任意取定的,对应的函数值为,这样,以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点,当取遍上一切点时,得一个空间点集,这个点集称为二元函数的图形.
二、多元函数的极限
定义1 设函数的定义域为是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为函数当,时的极限,
记为 (或这里
说明:
(1)定义中的方式是任意的;
(2)二元函数的极限也叫二重极限
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例2 求证
证明:
当时, 证毕.
例3 求极限
解: 其中=1
例4 证明不存在.
证: 取
其值随k的不同而变化,故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1) 令沿趋向于,若极限值与有关,则可断言极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式,使存在,但两者不相等,此时也可断言在点处极限不存在.
利用点函数的形式有元函数的极限
定义2 设元函数的定义域为点集是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为元函数当时的极限,记为.
三、多元函数的连续性
定义: 设元函数的定义域为点集是其聚点且,如果则称元函数在点处连续.
设是函数的定义域的聚点,如果在点处不连续,则称是函数的间断点.
例5 讨论函数在(0,0)处的连续性.
解:取 =
当时,
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数在(0,0)处的连续性.
解:取
其值随k的不同而变化,极限不存在.故函数在(0,0)处不连续.
闭区域上连续函
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