信号与线性系统分析——系统函数.ppt

本 章 要 求 掌握由系统函数分析系统特性的方法； 会用信号流图求系统函数及用系统函数模拟系统。 本章主要内容 系统函数与系统特性 系统的因果性与稳定性 信号流图 系统的结构 系统函数的零极点与系统响应的关系 s 域中系统函数的重要作用 s 域中系统函数的重要作用 s 域中系统函数的重要作用 系统的自由频率、零极点及零极点图 系统的自由频率、零极点及零极点图 零极点与冲激响应 零极点与冲激响应 零极点与冲激响应 小 结 小 结 系统因果性 因果系统：响应不会出现在激励之前（有输入才有输出）的系统，即 系统稳定性 系统的稳定性：在有界输入的情况下输出是有界的。也就是说，对于一个无源网络，给它输入一个能量有限的信号（如冲激信号 或 ），那么它的响应（冲激响应 或 ）必然是有限的，而且实际系统是有损耗的，因而随着时间的推移，响应会逐渐减小，最后到零。由于冲激响应的拉氏变换就是系统函数即网络函数 或 ，所以讨论 或 的有关性质，就可判断出系统的稳定性。 系统稳定性 主要讨论可实现网络函数的性质及其判别方法 网络函数 我们所指的网络函数通常按下面方式得到（使用复频域的比较多）： 网络函数 ⑵ 复数（虚数）零、极点必须成对（或共轭）出现； 因为只有零、极点共轭地出现时： 网络函数 ⑸ 分子、分母多项式的最高幂次或最低幂次相差不能大于 1 。 因为 s 当很大时，前式可简化为： 当 时，函数将要出现零点或极点，而 点可以认为是在虚轴上，由前一个性质知，在虚轴上的零、极点必须是单阶的，因此上式中应有 ，即函数中分子、分母的最高幂次相差不能大于 1（同样也可证最低幂次相差也不能大于 1，这里略）。 霍尔维茨多项式 ⑴ 定义 若实系数多项式 的所有零点都在左半平面，则称 为严格的霍尔维茨多项式；除上述条件外，若它还有在虚轴 jω 上的单阶极点，则称 为广义的霍尔维茨多项式。 线性时不变稳定系统的系统函数 的性质： ① 它为 s 的实系数有理函数； ② 零极点对σ 轴对称； ③ 分母多项式为霍尔维茨多项式。 霍尔维茨多项式 ⑵ Hurwith多项式的判别方法——必要条件 霍尔维茨多项式 ⑴ 若ai为正实数，那么即使有复数或纯虚数根时，也必定是成对出现的，因为在上式中，只有成对的条件下 ai（如 a1）才可能都是正实数； ⑵ 若要求所有的根都要为负实数或负复数（实部），那么其必要条件是所有系数都是正实数，因为在前面的式子中，奇次数根的乘积前为负号，偶次数根的乘积前为正号，若要求都是负实数，则非具有正的系数不可； 霍尔维茨多项式 ⑶ 要求所有的根都是负实数的必要条件是方程式各项前的系数不为零（即不缺项，n 次方程有 n + 1 项）。若有缺项，则至少有一个根为正实数。 满足以上条件的多项式称为 Hurwith 多项式；而全部是奇数或偶数次的多项式有在虚轴上的根，称该多项式为广义 Hurwith 多项式。 霍尔维茨多项式 由上可知，要使系统是稳定的， 的全部极点必须在s 左半平面，其必要条件是 的所有系数必须是正的，且不为零，即 ， 。它们是必要条件，也就是说 中如有缺项或某一项系数为负，则系统为不稳定系统。 霍尔维茨多项式 然而上面的条件仅仅是一个必要条件，还不是充分条件，也就是 时，还不能断定该系统为稳定系统，例： Hurwith 判别法 ⑴ 将 分成二部分，其中： Hurwith 指出 的全部根位于左半平面的充要条件是全部系数 qi（ ）为正值，满足此条件的多项式为 Hurwith 多项式。 【例7―2】已知 ，试判断它是否为Hurwith多项式。 Hurwith 判别法 在前面的讨论中会出现一种特殊情况：若 和 有公因子，则辗转相除的过程会突然结束，这时相关多项式 等于 Hurwith 多项式 与另一个偶次多项式（又称倍增因子） 的乘积，即 Hurwith 判别法 【例7―3】 已知 ，试判断它是否为 Hurwith 多项式。 Routh 判别法 ⑴ 将 系数按下式排列 Routh 判别法 Routh 判别法 ⑶ 观察阵列中第一列元素（1、an-1、b1、c1