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维普资讯 2006年第23期 数学通讯 27 关于凸多面体的几个性质 李裕民 (江苏省高淳职教中心校，江苏 211300) 中围分类号：O123．2 文献标识码：A 文章编号 ：0488—7395(2006)23—0027—03 在文[1]中。杨先义先生对六面体的对角 以，顶体的对角线条数为 线条数作了全面的探讨，得到了六面体有且 d=c 一l= 一3(一2) 只有0，1，2，4条对角线，并提出了下列问题： 多面体的对角线条数是否存在计算公式?或 ： (丝=2(丝二 1 2 ’ 者退一步，多面体的对角线条数是否能用不 若一个 顶体中有一个面是边数大于3 等式进行估计?本文特从另一角度——多面 的多边形，则在保持顶数和其他多边形面数 体的顶点数来探讨上述的问题，并得出关于 不变的前提下，可将这个多边形面变换成两 凸多面体的棱、面、对角线条数的计算公式及 个以上的三角形面，这时，面角之和仍保持不 其取值范围． 变．而棱数，面数和对角线数均增加了，由此 定义 若一个凸多面体有 个顶点，则 可得： 称该多面体为凸 顶体，本文中简称为 顶 性质2 任意 顶体的面角之和均相 体． 等．为 边形内角和的2倍，即2( 一2) 对于 顶体，有如下一些漂亮的性质： 180 ． 性质 1 如果 顶体中每个面均为三角 性质3 在所有的 顶体中，每个面均 形。则这个 咒顶体中棱的条数，面的个数，对 为三角形的 顶体是存在的，而且它的棱 角线的条数均为定值．且棱数 z=3(一2)， 数、面数与对角线数均为最多． 面数 m =2( 一2)，对角线条数 d 当 顶体的面不全是三角形时。我们也 (咒一3)( 一4) 2 有如下结论： 证 因为 顶体的每个面均为三角形， 性质4 如果一个 顶体有 ，个四边 是由三条棱组成。每条棱又是两个面的公共 形面，m：个五边形面，m，个六边形面，…， 边，设棱的条数为 l，面的个数为 m，则 3m m 个(矗十3)边形面I，其余面均为三角形面， =2l，由欧拉定理有： +m一￡=2，解得 ‘ 则该多面体共有 l=3(一2)一∑i·m 条 I3m=2／， 佣Il=3(一2)， I7z+m—l 2，’。lm=2(一2)． 棱，有 m=2(一2)一∑i-m 个面，有： 因为凸 顶体中任意两个顶点的连线