化动为静解决滚动圆问题.doc

化动为静解决滚动圆问题 陕西省宝鸡市眉县城关二中 郭瑞娟 [内容提要] 运动型问题的解决主要是要抓住运动过程中动点与不动点，分析变量与不变量之间关系，从而达到解决问题的目的。本文主要对滚动圆问题从圆沿直线滚动、圆沿多边形滚动及圆绕定圆滚动三个方面进行了阐述，得出各种滚动圆问题中，圆在滚动过程中动圆的圆心相对于所走路径是不变的这一规律，以不变应万变就容易确定滚动圈数与滚动距离之间的关系。 [关键词] 动圆圆心 运动轨迹 沿直线滚动 沿多边形滚动 绕定圆滚动 在教学教科书和竞赛中我们都会遇到与滚动圆有关的问题，如北师大九年级（下）120页“随堂练习”出现的习题：如图(1)：一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少。130页“试一试”，又有如下一题：请你动手试一试：如图（2）取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自转了多少圈？诸如此类的问题，学生感到难以理解，作为教者不知如何解释，经过深入研究，发现这类问题其实也有规律可循。 图1 首先，必须搞清滚动与转动、旋转及平移 并不是一回事，滚动其实是一种复合运动，至少包括两种运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）。另外，还有滚动圆沿一个几何图形的转动，由于在流动过程中除动圆的圆心以外，圆上的其它各点相对于所走路径是变化的，很难把握其规律，因此，紧抓滚动圆的圆心相对于所走路径是不变的这一规律，以不变应万变就容易确定量与量的关系，故解决圆的滚动问题的关键就是动圆圆心运动轨迹，分析其变与不变的关系，大致分为以下几种类型: 一、圆沿直线滚动的问题 例：如图(3)：一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？ 图3 分析：圆在沿直线方向从点A滚动到点B的过程中，圆心O到直线AB距离保持不变，因而很易得出四边形OABO`是矩形，则就有AB=OO`，又因为从点A到点B⊙O转动了一圈，可知AB长为一个圆周长，即AB=πd= 00`,因此，圆心轨迹OO、经过的距离为πd。 由以上的分析，可引伸为半径为r的硬币沿直线滚动n圈，则圆心所经过的距离为2nπr。反之，亦可求圆自转的圈数。 例如：如图（4）一个半径为r的圆沿直线方向从点A滚动到点B，若AB=a，求该圆在滚动过程中自转了几圈。 图4 分析：由题意可知，四边形OABO、为矩形，AB=OO、=a，直线AB∥圆心轨迹OO、，而圆自转一周，圆心向前移动2πr，因此，圆在滚动过程中自转了a/2πr圈。 二、圆沿多边形的边缘滚动的问题。 例如如图（5），一个等边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，问该圆转了几圈？ 分析：因为AB=AC=BC=小圆周长，所以学生易错解为要转3圈，学生往往忽视了圆在三角形顶点处的变化状况，只要认真体会一下，就可知圆并不是从O1与边AB相切于A点的位置一下子跳到O2与边AC相切于A点的位置，而是圆周上某一点沿着顶点A转过某一角度才从O1到O2的位置，其中，由于圆在三角形边上滚动时，圆与三角形一边相切，即图中O1A⊥AB， O2A⊥AC，∵∠BAC=60°，∴∠OAO=120°，即圆心以顶点A为圆心转动了120°的弧线，同理，在顶点B、C处也转过120°弧线，所以，该圆绕三角形一周共自转4圈。 通过分析发现：当圆不在直线上滚动时，圆周接触点不发生变化圆也有可能发生转动。因此，度量圆转过的圈数应观察其圆心位置的变动（圆心经过的路程÷圆周长圈数），而不是圆周滚过的路线，有了这样的观念我们再看以下两个问题就不会落入滚动的陷阱中去。 又如例：如图(6)，一个半径为r圆沿着一凸五边形ABCDE外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动一周回到原位置,已知五边形周长为m，问圆自转了几圈 分析：圆在绕凸五边形ABCDE滚动过程中，其圆心到多边形各边（包括顶点）距离保持不变，始终等于r，圆心绕边多边缘滚动的路径由两部分组成：五边形周长加上在多边形各顶点处所经过的弧线长，易证，所有弧线长和刚好等于圆周长，圆自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以圆自身周长，故圆转动了(m+2πr)周，设想一下，如果把图(6)中的五边形ABCDE沿点A处剪开并展开，仿造上面的第一种情形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动且圆心所经过的路径长为OO`的长，见图，即OO`=m+2πr，而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr，因此圆在滚动过程中自转了m+2πr/2πr圈。类似的对于一般的凸n边形，上面的结论同样成立。 三、动圆绕定圆滚动的问题 例如图（7），⊙O与⊙O`外