定积分的基本性质.ppt

一、基本内容 将性质5加强便得到如下命题： 二、小结 * 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证 性质2 性质1、2统称为线性性，即 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3（区间可加性） 证 性质4 性质5 证 性质5的推论： 证 （1） 命题 设 上连续、非负 证 由连续性和极限的局部保号性， 为区间端点时类似证明（取单侧邻域）. 且不恒为零， 解 令 于是 推论： 证 说明： 性质5的推论： （2） 但反之不真，如 在[0,1]上不可积. 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6(估值定理) 解 解 证 注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论; 性质7（积分第一中值定理） 由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论. 若 则结论成立. 若 特殊情况： 积分中值公式 即 积分中值公式的几何解释： 比如： 说明: (1)积分中值公式中的 与被积函数和 积分区间有关. (2)可以证明： 解 例4 某商店在30天的销售过程中，某货架上的 商品件数由300件线性地下降到60件，试求 货架上的月平均商品件数。 解 由积分中值公式知有 使 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．