対応分析-行動統計科学研究分野.ppt

対応分析 　　　　　　　　行動計量学分野 　　　　　　　　B3 　伊島達也 対応分析とは？ 　対応分析とはクロス集計表を使って、行の要素と列の要素の相関関係が最大になるように数量化して、その行の要素と列の要素を多次元空間（散布図）に表現するもの。プロットされた点の距離によって関係の強さがわかる。　 　　　 例えば 主成分分析との違い 主成分分析???連続量の測定値からなる　　　　　　　　　　　データ表の分析 対応分析???分割表（あるいはクロス集計　　　　　　　　表）分析 　　　　しかし、情報集約という点でこの二つは共通する。 数量化Ⅲ類との違い 多重対応分析と数量化Ⅲ類とはほとんど一緒です。違いはデータ行列の表し方です（Q＆Aで知る統計データ解析より）。具体的に質問項目３、被験者７名のデータを数量化Ⅲ類と多重対応分析の２通りで表してみると 　　　　　　　　　 データ行列（数量化Ⅲ類の場合） 問に対する反応を0と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1にコード化する（この　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　場合だと「はい」を１、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「いいえ」を０とする）。 データ行列（対応分析の場合） 　　　データ行列（対応分析）　　　　　　　 多重対応分析では、１つの項目の「はい」と「いいえ」を別の変数と見なして表をつくります（スライド７参照）。こうすると、行の和が質問項目の数と等しくなり、（データの数ｎ）＝（被験者数）×（項目数）となり、計算が簡単になる？ スライド７のような行列をダミー変数行列といいます。 対応分析（数学的には）１ 二つの質的変数AとBのダミー変数行列をGA,、GBとする。 　　　　　　　　　　　1 2 3 4 1 2 G= 3 4 回答者４人、カテゴリ４の場合だと上みたいな感じ。 　　　 ２ GA,GB（それぞれ、n×p,n×q行列とする）を用いて変数AとBのクロス表を行列で表すと、 　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　A B 1 2　　????　　q 1 NAB　＝G’AGB　＝2　　 　???????????????????? p ３ このクロス表を対応分析するためには、変数Aとし変数Bの相関関係が最大になるように変数の各カテゴリに最適数量を与える必要がある。 相関係数 変数Aと変数Bの相関係数はA、Bの各カテゴリに与える最適な数量ベクトルai（i＝1～p）、ｂｊ（ｊ＝1～ｑ）を用いて表すと、 　　　　となる。 相関係数（行列版） 前のスライドの式を行列で表すと、 　＜記号の説明＞ NAB?クロス表をそのまま行列にしたもの DA　?行和を対角成分とした対角行列 DB　?列和を対角成分とした対角行列 ここで制約条件 　　　　　　　　　　という条件のもとでｒを最大にする。つまり、 　　　　　　 　　　　　　　を最大にすればいい 最大にするには？ 　　　　　　　最大値といえば 　　　　　　極値。極値といえば 　　　　　　偏微分。偏微分といえば ラグランジュの乗数法 関数U(a,b)がある条件（a`DAa=1,b`DBb=1）のもとに、点（α,β）で極値をとるならば、関数F(a,b,)を 　　F(a,b)=U(a,b)-1/2μ1(a`Daa-1)-1/2μ2(b`DBb-1) とおいたとき、極値を取る点（α,β）は連立方程式 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　の解になる。今回の場合だと 今回の場合 ①式の左からa`