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2014年第11期 中学数学研究 在深度解读教材中增长见识 华中师范大学数学与统计学学院 (430079)徐章韬 李鸿昌 1 引言 面向教学的数学知识(MathematicKnowledge for Teaching，MKT)指出，学科知识具有基本重要的 个常数列，这样就有s。一[导n2+(口。一导)凡]=Js： 地位，在吃透学科知识的基础上产生教育教学上的 见解，从而更好地指导我们的教学．【Io面对年复一 年的教学工作，教师要不产生职业倦怠，深度解读教 材，从中获得不一般的见’识，获得专业成长中的乐 趣，是一种可资借鉴的专业发展方式．本文以《数 等差数列前凡项和公式． 列》为例，来探讨这个话题． 2．2 对等比数列 2教材深度解读 等差数列、等比数列的要义在于用“同一个常 对等比数列{6。}而言，因6。=6。g”1，变形有等 数”，即可控制一个数列．这充分体现了常数的妙 用．在文[2—3]中，我们已经指出了常数的作用，常 =6。g．这样f冬l是一个常数列，即等比数列的问题 数貌似简单，实则不然，它充分体验了以简驭繁，以 可以化归为常数列的问题．现在来求等比数列的前 变应常的朴素想法．求数列的通项公式以及前凡项 ，l项的和S。． 的和，是《数列》这一章的重要主题，下面用一些例 因鲁：萼：…：冬：6。g，由比例的性质定理 子来说明，解题之法从深度解读教材中来． 2．1 对等差数列 有鲁{搿=6-q(当然，此处要求分母不为 对等差数列{口。}而言，因口。=口。+(凡一1)d， 零)，这样任何一个等比数列的求和都化归为数列 变形有o。一凡d=n。一d，这样{Ⅱ。一凡d}是一个常数 列．即，等差数列的问题可以化归为常数列的问题． {g“}的求和!这和等差数列的情形多么相似!数学 现在来求等差数列的前n项的和|s。． 的和谐，一以贯之的精神在这里得到了淋漓尽致的 把常数列{口。一nd}的前凡项加起来，有|s7。= 表现．处于此情此境中的人，一定会受到数学精神的 感染． (01一d)+(口2—2d)+…+(口。一，ld)，即S’。=S。 另外，还可以由|s。一|s川=口。(n≥2)出发，得 一(1+2+…+n)d，这样任何一个等差数列的求 到凡项的和公式． 和，均可转化为数列{几}的求和，故自然数列1，2，3， …，凡，…是任何一个等差数列的意象，这样我们获 得了和专家一样的见解．Ho故而，教材从高斯的故 事引出倒序相加法，这样，教材的编写意图就非常清 等m。弘9州m。=筹一筹．凯≥ 楚了． 另外，还可以由s。一|s川=口。(几≥2)出发，得 到n项的和公式． 由Js。一S。一。=n。+(n一1)d，不妨设S。一(口n2 口一l 口一l 邮。一等}是常数列，且首项抛一等= +6n+c)=S。一l一[o(凡一1)2+6(n一1)+c]，可 能有的学习者会问，这里起调节作用的为何是一个 嚣舯。一鲁=寿，耶。=等半cg 二次三项式，而不是三次的，或是四次的多项式，因 ≠1)． 为等差数列说到底是一个一次函数，其n项和是一 2．3 对由两种基本数列而成的复合型 个关于凡的二次函数，故为了产生常数列，只要用一 设数列{口。}是公差为d的等差数列，数列{6。} 个二次多项式来调节即可．根据待定系数法