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线段长度的最值试题研究 徐友政 （四川省渠县中学 635200） （此文已发表于《招生考试报》2013年5月23日第6、7版） 求有关线段长度的最值，一直是初中各种考试命题的重要题型.这类题，所用知识简单、易理解，但题型多样、较难把握.本文从寻找突破口所用主要知识方法的角度，对“线段长度的最值试题”做一粗略研究.（本文中，“2012荆州市，14”表示2012年荆州市中考题的第14题.） 直接用“两点之间线段最短” 在圆柱、棱柱等几何体上，求从点A到点B的最短路径，通常是将几何体展平，再利用两点之间线段最短连结AB,再求AB的长. 例1（）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 ∵PA=2×（4+2）=12，QA=5PQ=13．故答案为：13．如图（1），AC1==； 如图（2），AC1==；如图（3），AC1==. 比较得，小虫爬行的最短路径的长度是. 例3（2012青岛市,14）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． 解析 根据题意，蚂蚁要先从杯外壁爬到杯口，再沿杯内壁到C.将圆柱沿A、C所在母线剪开、展平、连线，即得如图所示矩形ABCD.则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为AC==15(cm). 例4 如图所示，有一个实心圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？（的值取3） 解析 蚂蚁爬行的路径很多，较短的有两条.一条是沿母线爬到上底面，再沿直径到B，路径长12+3×2=18（cm）；另一条是走侧面，将圆柱侧面剪开、展平得一矩形，最短路径长为AB≈=15(cm).∴蚂蚁爬行的最短路程约是15cm. 例5 （2005河北省，20）如图，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2。若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根式）。 解析 将圆锥的侧面展开呈扇形OAA′，小虫从侧面爬行一周又回到A点的最短距离就是AA′,弧AA′的长等于圆锥底面圆周长，于是2×2=，n=90，∴ΔAOA′为等腰直角三角形，AA′=8. 用“点到直线的所有线段中，垂线段最短” 例6 （第五届“五羊杯”初中数学竞赛试题）如图，长方体箱子的长为100cm，宽为100cm，高为50cm.箱子顶部在点B和AD的中点E之间绷紧着一根琴弦，一只蚂蚁从底部A1B1的中点M出发，沿着箱子外壁爬向琴弦（可以爬上顶部），则它至少需爬行 cm才能触到琴弦（答案取整数）. 解析 “点到直线的所有线段中，垂线段最短”,∴把面A1B1BA和ABCD展平，作MN⊥BE于点N，则MN的长为蚂蚁爬行的最短路程.连结MB、ME.∵SΔMBE=S梯形A1B1BE-SΔMA1E-SΔMB1B=BE·MN,BE==50， ∴×（50+100）×100-×50×50-×100×50=×50MN,得MN=30≈67.08，∴蚂蚁至少需爬行68cm才能触到琴弦. 用“三点共线”求最值 具体问题具体分析.利用“三点共线”，可求线段和或差的最值. 例7 （2008兰州市，11）如图，在中，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ） A． B． C．5 D．4.8 解析 设动圆为⊙0,⊙0与AB切相于点T.∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90?.∴EF为⊙0的直径，有EF=OC+OT.要使EF长度最小，就要OC+OT的值最小.∴当T、O、C三点共线时，EF长度最小.∵OT⊥AB,∴CT⊥AB,得CT=6×8÷10=4.8，选D. 例8 （2012济南市，13）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）. A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析 取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE.∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1，DE=，∴OD的最大值为：．故选A． 例9 （2012黄石市，10）如图（5）所示，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（ ） B. C.