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三.相关系数 四. 矩 五. 协方差矩阵与相关矩阵 例5:设 * * 章山林 《概率论与数理统计》 § 4.3 协方差和相关系数 § 4.3 协方差和相关系数 问题 若X, Y 独立,则根据数学期望的性质， 若E{(X-EX)(Y-EY)}≠0,则X与Y不相互独立 从而它们之间应该有某种关系 表示随机变量 X , Y 之间的这种关系 即E｛(X-EX)(Y-EY)｝=0 因为E{(X-EX)(Y-EY)}= E{XY-YEX-XEY+EXEY} =E(XY)-EX EY -EX EY+ EX EY = E(XY)-EX EY =0 有 E(XY)-EX EY=0, 称为X,Y的协方差.记为 COV(X,Y) (１)利用公式Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 2.计算 证明 １.定义 一.协方差定义与求法 若 ( X ,Y ) 为二维离散型， 若 ( X ,Y ) 为二维连续型， 由定理４.２可以得到: (２)由定理4.2求 例1: 设二维 r.v. (X ,Y ) 的联合 p.d.f. 为 求E(X), E(Y), E(X Y), COV(X,Y) 解 例２ 解 (2) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为常数； (3) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); ３.协方差性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (4) Cov(X,X)=D(X) 定义: 当Cov(X,Y)=0时，称X与Y 不相关, 这里“X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系？ 注:“X与Y 独立” “X与Y不相关”,反之未必成立. 反例：设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y2?1}上服从均匀分布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。 二.相关与不相关 由Ｐ.６６例３.１１知：Ｘ与Ｙ不相互独立 当Cov(X,Y)≠0时，称X与Y 是相关的. 注意： X与Y为随机变量,则下列结果等价 (1) X,Y不相关; (2) Cov(X,Y)=0; (3)E( XY)=EX EY; (4) D(X+Y)=DX+DY. 而 为此把X 的标准化，即令 易知EX*=0，DX*=1，同样把Ｙ标准化 无量纲 的量 协方差来描述相关关系受到Ｘ，Ｙ取值的影响 由性质Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)，利用 例3 从而,若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， 则X , Y 相互独立 X , Y 不相关 解 1.定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则把 称为X与Y的相关系数. 2.相关系数的性质 引理 当E(X 2 ) 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当 时, 等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式. 证明 令 对任何实数 t , 等号成立 有两个相等的实根 即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1. 相关系数的性质的证明 取 设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数 解 D 1 x=y 例4 1.k 阶原点矩 2.k 阶中心矩 1.定义 设X1，… , Xn为n个随机变量, 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，… , Xn的协方差矩阵C。即 显然:C为实的对称矩阵 2.定义 设X1，… , Xn为n个随机变量, 记ρij=ρXi Xj,i, j=1, 2, …, n. 则称由ρij组成的矩阵为随机变量 X1，… , Xn的相关矩阵。即 显然:R为实的对称矩阵 求X的k阶原点矩及k阶中心矩 (P.101) 例6: * * *